Chứng minh rằng \(ΔCBDΔCBD\) là tam giác cân.

Dữ liệu:

• Tam giác \(ΔABCΔABC\) vuông tại \(AA\).
• Trên tia đối của tia \(ABAB\), lấy điểm \(DD\) sao cho \(AD=ABAD=AB\).

Chứng minh:

• Ta có \(ΔABCΔABC\) vuông tại \(AA\), do đó \(∠A=90∘∠A=90∘\).
• \(AD=ABAD=AB\) theo giả thiết.

Ta cần chứng minh rằng \(ΔCBDΔCBD\) là tam giác cân, tức là \(BC=BDBC=BD\).

• Xét tam giác vuông \(ΔABCΔABC\), ta có:
• • \(AB=ACAB=AC\) (do đây là tam giác vuông cân).
• Vậy, ta có \(△ABD△ABD\) là tam giác vuông tại \(AA\), với \(AB=ADAB=AD\). Do đó, \(△ABD△ABD\) là tam giác vuông cân.
• Xét tam giác \(ΔCBDΔCBD\):
• • Ta có \(BC=BDBC=BD\) bởi vì \(△ABC△ABC\) vuông tại \(AA\) và \(△ABD△ABD\) vuông cân, từ đó suy ra \(ΔCBDΔCBD\) là tam giác cân.

b) Chứng minh rằng \(BC=DEBC=DE\).

Dữ liệu:

• Gọi \(MM\) là trung điểm của \(CDCD\), đường thẳng qua \(DD\) và song song với \(BCBC\) cắt đường thẳng \(BMBM\) tại \(EE\).

Chứng minh:

• Do \(MM\) là trung điểm của \(CDCD\), ta có \(CM=MDCM=MD\).
• Đường thẳng qua \(DD\) và song song với \(BCBC\), nên \(DE∥BCDE∥BC\).

Ta sẽ chứng minh rằng \(BC=DEBC=DE\) bằng cách sử dụng định lý "Hai đoạn thẳng song song với nhau trong tam giác vuông" (định lý cạnh góc vuông trong tam giác vuông).

• Vì \(DE∥BCDE∥BC\), và đoạn thẳng \(BMBM\) cắt cả hai đường thẳng này tại \(EE\), ta có tam giác \(ΔBCDΔBCD\) và tam giác \(ΔBDEΔBDE\) đồng dạng (theo định lý đồng dạng tam giác).
• Vì vậy, ta có tỉ số tương ứng giữa các cạnh của hai tam giác đồng dạng này. Cụ thể, từ sự đồng dạng này, ta có:

\(BCBD=DEBC.BDBC​=BCDE​.\)

Do đó, suy ra \(BC=DEBC=DE\).

Kết luận:

• Phần a) Chứng minh \(ΔCBDΔCBD\) là tam giác cân.
• Phần b) Chứng minh \(BC=DEBC=DE\).

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài toán.

Chứng minh rằng \(ΔCBDΔCBD\) là tam giác cân.

Dữ liệu:

• Tam giác \(ΔABCΔABC\) vuông tại \(AA\).
• Trên tia đối của tia \(ABAB\), lấy điểm \(DD\) sao cho \(AD=ABAD=AB\).

Chứng minh:

• Ta có \(ΔABCΔABC\) vuông tại \(AA\), do đó \(∠A=90∘∠A=90∘\).
• \(AD=ABAD=AB\) theo giả thiết.

Ta cần chứng minh rằng \(ΔCBDΔCBD\) là tam giác cân, tức là \(BC=BDBC=BD\).

• Xét tam giác vuông \(ΔABCΔABC\), ta có:
• • \(AB=ACAB=AC\) (do đây là tam giác vuông cân).
• Vậy, ta có \(△ABD△ABD\) là tam giác vuông tại \(AA\), với \(AB=ADAB=AD\). Do đó, \(△ABD△ABD\) là tam giác vuông cân.
• Xét tam giác \(ΔCBDΔCBD\):
• • Ta có \(BC=BDBC=BD\) bởi vì \(△ABC△ABC\) vuông tại \(AA\) và \(△ABD△ABD\) vuông cân, từ đó suy ra \(ΔCBDΔCBD\) là tam giác cân.

b) Chứng minh rằng \(BC=DEBC=DE\).

Dữ liệu:

• Gọi \(MM\) là trung điểm của \(CDCD\), đường thẳng qua \(DD\) và song song với \(BCBC\) cắt đường thẳng \(BMBM\) tại \(EE\).

Chứng minh:

• Do \(MM\) là trung điểm của \(CDCD\), ta có \(CM=MDCM=MD\).
• Đường thẳng qua \(DD\) và song song với \(BCBC\), nên \(DE∥BCDE∥BC\).

Ta sẽ chứng minh rằng \(BC=DEBC=DE\) bằng cách sử dụng định lý "Hai đoạn thẳng song song với nhau trong tam giác vuông" (định lý cạnh góc vuông trong tam giác vuông).

• Vì \(DE∥BCDE∥BC\), và đoạn thẳng \(BMBM\) cắt cả hai đường thẳng này tại \(EE\), ta có tam giác \(ΔBCDΔBCD\) và tam giác \(ΔBDEΔBDE\) đồng dạng (theo định lý đồng dạng tam giác).
• Vì vậy, ta có tỉ số tương ứng giữa các cạnh của hai tam giác đồng dạng này. Cụ thể, từ sự đồng dạng này, ta có:

\(BCBD=DEBC.BDBC​=BCDE​.\)

Do đó, suy ra \(BC=DEBC=DE\).

Kết luận:

• Phần a) Chứng minh \(ΔCBDΔCBD\) là tam giác cân.
• Phần b) Chứng minh \(BC=DEBC=DE\).

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài toán.

a) \(H(x)=A(x)+B(x)H(x)=A(x)+B(x)\)

\(H(x)=(2x3−5x2−7x−2024)+(−2x3+9x2+7x+2025)H(x)=(2x3−5x2−7x−2024)+(−2x3+9x2+7x+2025)\)

\(H(x)=(2x3−2x3)+(9x2−5x2)+(7x−7x)+(2025−2024)H(x)=(2x3−2x3)+(9x2−5x2)+(7x−7x)+(2025−2024)\)

\(H(x)=4x2+1H(x)=4x2+1\)

b) Ta có: \(x2≥0,∀xx2≥0,∀x\)

\(⇒4x2≥0,∀x⇒4x2≥0,∀x\)

\(⇒4x2+1≥1>0⇒4x2+1≥1>0\)

hay \(H(x)=4x2+1H(x)=4x2+1\) vô nghiệm