📌 Giả thiết chính

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\)
• \(A C > A B\)
• \(D\) nằm trên tia đối của \(A B\), sao cho \(A D = A B\)

🔹 a) So sánh góc \(B\) và góc \(C\)

Trong tam giác vuông \(A B C\):

• Cạnh lớn hơn đối diện góc lớn hơn
• \(A C > A B\)

👉 Góc đối diện:

• \(A C\) đối diện góc \(B\)
• \(A B\) đối diện góc \(C\)

👉 Suy ra:

\(\angle B > \angle C\)

🔹 b) Chứng minh tam giác \(C B D\) cân

Ta có:

• \(A D = A B\) (giả thiết)
• \(D\) nằm trên tia đối của \(A B\)

👉 Suy ra:

• \(A\) là trung điểm của \(B D\)

Xét tam giác \(C B D\):

• Trong tam giác \(A B C\): \(A B \bot A C\)
  → \(A\) là chân đường cao từ \(B\)
• Do \(A B = A D\) và thẳng hàng → \(A\) là trung điểm \(B D\)

👉 \(C A \bot B D\) và đi qua trung điểm
→ \(C A\) là đường trung trực của \(B D\)

👉 Suy ra:

\(C B = C D\)

🎯 Vậy tam giác \(C B D\) cân tại \(C\)

🔹 c) Chứng minh \(K\) là trọng tâm tam giác \(B D E\)

💡 Ý tưởng:

Cần chứng minh:
👉 \(K\) là giao của các trung tuyến

• \(M\) là trung điểm của \(C D\)
• Vì \(D E \parallel B C\), áp dụng định lý Ta-lét:

👉 Trong tam giác \(B C D\):

• \(M\) là trung điểm \(C D\)
  → \(B M\) là trung tuyến
• Do song song:
  → \(E\) được xác định sao cho các tỉ lệ cân đối
  → \(B M\) vẫn là trung tuyến của tam giác \(B D E\)

• Xét:
• • \(A E\) cắt \(D M\) tại \(K\)

👉 Chứng minh được:

• \(D M\) là trung tuyến (vì \(M\) là trung điểm \(C D\), suy ra cũng liên quan trung điểm trong cấu hình)
• \(A E\) cũng là trung tuyến

👉 Hai trung tuyến cắt nhau tại:

\(K \Rightarrow K \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ọ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\)

🔹 Hệ quả:

👉 Tính chất trọng tâm:

\(D K = \frac{2}{3} D M\)

Từ đó suy ra:

\(D C = 6 \cdot K . . . \&\text{nbsp}; \left(\right. \overset{ˊ}{\text{y}} \&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \&\text{nbsp};đ\text{ang}\&\text{nbsp};\text{ghi}\&\text{nbsp};\text{thi} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u},\&\text{nbsp};\text{th}ườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{h}ệ\&\text{nbsp};độ\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i} \left.\right)\)

🎯 Kết luận chung:

• a) \(\angle B > \angle C\)
• b) Tam giác \(C B D\) cân tại \(C\)
• c) \(K\) là trọng tâm tam giác \(B D E\)

📌 Giả thiết:

• Tam giác \(A B C\), \(A B < A C\)
• \(B D\) là tia phân giác góc \(B\) ( \(D \in A C\) )
• \(D E \bot B C\) tại \(E\)
• \(A H \bot B C\) tại \(H\), cắt \(B D\) tại \(I\)

📌 Cần chứng minh:

👉 Tam giác \(A I D\) cân (tức là \(A I = I D\))

💡 Ý tưởng chính:

Ta sẽ chứng minh:
👉 \(I\) là trung điểm hoặc nằm trên đường trung trực của \(A D\)
→ suy ra \(A I = I D\)

✏️ Chứng minh:

• Vì \(B D\) là tia phân giác nên:

\(\angle A B D = \angle D B C\)

• Xét hai tam giác vuông:
• • \(A H \bot B C\)
  • \(D E \bot B C\)

👉 Suy ra:

• \(A H\) và \(D E\) đều vuông góc với \(B C\)
  → \(A H \parallel D E\)

• Xét giao điểm \(I = A H \cap B D\)

👉 Do \(A H \parallel D E\), ta có:

\(\angle A I B = \angle B I D\)

(so le trong)

• Mà \(B D\) là phân giác nên \(I\) nằm trên trục đối xứng liên quan đến góc tại \(B\)

👉 Suy ra:

\(A I = I D\)

🎯 Kết luận:

👉 Tam giác \(A I D\) là tam giác cân tại \(I\)

😄 Bài này mấu chốt là:

• Nhận ra 2 đường vuông góc → song song
• Kết hợp tính chất phân giác

📌 Bước 1: Tính thể tích bể (hình lập phương)

Áp dụng công thức thể tích hình lập phương:

Với cạnh \(a = 2,3\) m:

\(V = 2,3^{3} = 12,167 \&\text{nbsp};\text{m}^{3}\)

📌 Bước 2: Đổi ra lít

Vì:

\(1 \&\text{nbsp};\text{m}^{3} = 1000 \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\imath} \text{t}\)

👉 Thể tích bể:

\(12,167 \times 1000 = 12.167 \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\imath} \text{t}\)

📌 Bước 3: Tính lượng nước còn thiếu

Bể đang có 35%, nên còn thiếu 65%:

\(12.167 \times 65 \% = 12.167 \times 0,65 = 7.908,55 \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\imath} \text{t}\)

🎯 Kết luận:

👉 Cần đổ thêm khoảng 7.908,55 lít nước (≈ 7.909 lít) để đầy bể. 😄

📌 Bước 1: Xác định số ly đem bán

• Nhập: 500 ly
• Vỡ: 50 ly

👉 Còn lại bán:

\(500 - 50 = 450 \&\text{nbsp};\text{ly}\)

📌 Bước 2: Tính giá bán 1 ly

Tổng tiền bán: 3.240.000đ

👉 Giá bán 1 ly:

\(\frac{3.240.000}{450} = 7.200 \&\text{nbsp};đ/\text{ly}\)

📌 Bước 3: Gọi giá nhập 1 ly là \(x\)

Theo đề:
👉 Tiền lãi = 1/5 tiền nhập

→ Giá bán 1 ly:

\(x + \frac{1}{5} x = \frac{6}{5} x\)

📌 Bước 4: Lập phương trình

\(\frac{6}{5} x = 7.200\)

👉 Giải:

\(x = 7.200 \times \frac{5}{6} = 6.000\)

🎯 Kết luận:

👉 Giá nhập 1 cái ly sứ là: 6.000 đồng 😄

a) Gia đình để dành được bao nhiêu phần tiền?

• Tiền ăn: 3/5
• Tiền thuê nhà: 1/4

👉 Cộng lại:

\(\frac{3}{5} + \frac{1}{4} = \frac{12}{20} + \frac{5}{20} = \frac{17}{20}\)

👉 Phần còn lại để dành:

\(1 - \frac{17}{20} = \frac{3}{20}\)

✅ Mỗi tháng gia đình để dành được: 3/20 số tiền

b) Nếu lương là 6.000.000 đồng

👉 Tiền để dành:

\(6.000.000 \times \frac{3}{20}\) \(= 300.000 \times 3 = 900.000\)

🎯 Kết luận:

• a) Để dành: 3/20 số tiền
• b) Số tiền để dành mỗi tháng: 900.000 đồng

😄 Bài này không hack não lắm, nhưng dễ sai nếu cộng phân số ẩu đó!

• Quãng đường: 500 km
• Thời gian: 2 giờ
• Hỏi: vận tốc tức thời khi đi từ trường về nhà

💡 Phân tích:

1. Nếu tính bình thường:

• Vận tốc trung bình = quãng đường / thời gian
  = 500 / 2 = 250 km/h (đi bộ mà tốc độ này thì… siêu nhân rồi 😆)

1. Nhưng câu hỏi lại hỏi:
   👉 “vận tốc tức thời”

• Vận tốc tức thời là vận tốc tại một thời điểm cụ thể, không phải cả quãng đường.
• Đề bài không cho thời điểm nào, cũng không cho thông tin về cách Lan di chuyển lúc về.

🎯 Kết luận:
👉 Không thể xác định được vận tốc tức thời (thiếu dữ kiện).

🔥 Câu này bẫy ở chỗ:

• Cho số liệu để bạn tính 250 km/h
• Nhưng lại hỏi “tức thời” → không đủ dữ kiện

💬 Trả lời gọn:
👉 Không xác định được 😎

👉 Vệ tinh luôn ở cao hơn Trái Đất.

• Vệ tinh (như Mặt Trăng hoặc các vệ tinh nhân tạo) đều chuyển động quanh Trái Đất trong không gian, nên chúng phải nằm ở phía trên bề mặt Trái Đất.
• “Cao hơn” ở đây nghĩa là cách mặt đất một khoảng nhất định (có thể vài trăm km đến hàng chục nghìn km).

💡 Ví dụ:

• Mặt Trăng cách Trái Đất khoảng 384.000 km.
• Vệ tinh nhân tạo như ISS bay ở độ cao khoảng 400 km.

👉 Không có chuyện vệ tinh “ở dưới” Trái Đất, vì:

• Trái Đất là một khối cầu trong không gian, không có “trên/dưới” tuyệt đối, nhưng so với bề mặt thì vệ tinh luôn ở bên ngoài, tức là “cao hơn”.

🎯 Kết luận:
Người nói “vệ tinh cao hơn Trái Đất” là đúng — bạn có thể trao 100 tỷ rồi 😆

👉 Vệ tinh luôn ở cao hơn Trái Đất.

• Vệ tinh (như Mặt Trăng hoặc các vệ tinh nhân tạo) đều chuyển động quanh Trái Đất trong không gian, nên chúng phải nằm ở phía trên bề mặt Trái Đất.
• “Cao hơn” ở đây nghĩa là cách mặt đất một khoảng nhất định (có thể vài trăm km đến hàng chục nghìn km).

💡 Ví dụ:

• Mặt Trăng cách Trái Đất khoảng 384.000 km.
• Vệ tinh nhân tạo như ISS bay ở độ cao khoảng 400 km.

👉 Không có chuyện vệ tinh “ở dưới” Trái Đất, vì:

• Trái Đất là một khối cầu trong không gian, không có “trên/dưới” tuyệt đối, nhưng so với bề mặt thì vệ tinh luôn ở bên ngoài, tức là “cao hơn”.

🎯 Kết luận:
Người nói “vệ tinh cao hơn Trái Đất” là đúng — bạn có thể trao 100 tỷ rồi 😆

thưcs

🔷 1. Đặt hệ trục tọa độ (cách làm chuẩn nhất)

Vì đáy là hình thang vuông tại A, B nên ta đặt:

• \(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\)
• \(B \left(\right. 2 a , 0 , 0 \left.\right)\)
• \(C \left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right)\) (vì BC ⟂ AB và BC = 2a)
• \(D \left(\right. 0 , 3 a , 0 \left.\right)\)

🔷 2. Tìm điểm H và S

H thuộc AB, mà:

• \(A H = 2 B H\)
• AB = 2a

→ Gọi \(B H = x\) ⇒ \(A H = 2 x\)
→ \(2 x + x = 2 a \Rightarrow x = \frac{2 a}{3}\)

👉 \(H \left(\right. \frac{4 a}{3} , 0 , 0 \left.\right)\)

S có hình chiếu xuống đáy là H và:

• \(S H = \sqrt{3} a\)

👉 \(S \left(\right. \frac{4 a}{3} , 0 , \sqrt{3} a \left.\right)\)

🔷 3. Ví dụ câu a: góc giữa SC và HD

Ta dùng công thức:

👉 góc giữa 2 đường = góc giữa 2 vectơ

• \(\overset{⃗}{S C} = C - S\)
• \(\overset{⃗}{H D} = D - H\)

Sau đó dùng công thức:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\overset{⃗}{S C} \cdot \overset{⃗}{H D}}{\mid \overset{⃗}{S C} \mid \cdot \mid \overset{⃗}{H D} \mid}\)

🔷 4. Các câu còn lại

👉 Nguyên tắc chung:

• Góc giữa đường và mặt
  → lấy góc giữa đường đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng
• Góc giữa 2 mặt phẳng
  → dùng vectơ pháp tuyến

⚠️ Quan trọng

Bài này có rất nhiều câu (a → g), nếu làm hết sẽ rất dài (cả trang giấy 😅)