c)

\(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

Vì \(G\) là trọng tâm nên:

\(G D = \frac{1}{3} B D\) \(G E = \frac{1}{3} C E\)

Cộng hai vế:

\(G D + G E = \frac{1}{3} \left(\right. B D + C E \left.\right)\)

Từ câu a):

\(B D = C E\)

nên:

\(G D + G E = \frac{2}{3} B D\)

\(G D + G E > \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} B C\) \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

b) Chứng minh tam giác \(G B C\) là tam giác cân

Từ câu a):

\(B D = C E\)

Vì \(G\) là trọng tâm nên:

\(B G = \frac{2}{3} B D\) \(C G = \frac{2}{3} C E\)

Mà:

\(B D = C E\)

Suy ra:

\(B G = C G\)

Do đó:

\(\triangle GBCcântạiG\)

Kết luận: tam giác \(G B C\) là tam giác cân.

\(\triangle A B D = \triangle A C E \left(\right. \text{c}.\text{g}.\text{c} \left.\right)\)

Trong tam giác \(B G C\)

\(B G + C G > B C\)

\(\frac{2}{3} B M + \frac{2}{3} C N > B C\)

Nhân cả hai vế với \(\frac{3}{2}\):

Vậy, BM+CN>3/2​BC