Gọi D là giao điểm của AG và BC.

Ta suy ra D là trung điểm BC.

Do đó DB = DC.

Xét ∆ABD và ∆ACD, có:

AD là cạnh chung.

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

BD = CD (chứng minh trên)

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).

Suy ra ˆADB=ˆADC (cặp góc tương ứng).

Mà ˆADB+ˆADC=180° (hai góc kề bù).

Suy ra ˆADB=ˆADC=180°:2=90°.

Khi đó AD ⊥ BC hay AG ⊥ BC.

Ta có DM = DG. Suy ra GM = 2GD.

Lại có G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó GDGB=12 (tính chất trọng tâm)

Nên GB = 2GD.

Khi đó ta có BG = 2GD = GM.

Chứng minh ta được CG = GN.

Xét ∆GMN và ∆GBC, có:

GM = GB (chứng minh trên).

CG = GN (chứng minh trên).

ˆMGN=ˆBGC (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆GMN = ∆GBC (c.g.c).

Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng).

Ta có ∆GMN = ∆GBC (chứng minh trên).

Suy ra ˆGMN=ˆGBC (cặp góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Ta suy ra MN // BC.

Ta có BF = 2BE (giả thiết). Suy ra BE = EF.

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED.

Do đó ED = DF.

Suy ra D là trung điểm của EF.

Khi đó CD là đường trung tuyến của ∆CEF.

Vì K là trung điểm CF (giả thiết).

Nên EK cũng là đường trung tuyến của ∆CEF.

∆CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G.

Khi đó G là trọng tâm của ∆CEF.

Vì G là trọng tâm của ∆CEF nên GCDC=2/3 và GKGE=1/2 (tính chất trọng tâm)

Ta có GKGE=1/2

Suy ra GEGK=2.

a: Xét ΔABD có

BC là đường trung tuyến

BG=2/3BC

Do đo: G là trọng tâm

=>A,G,E thẳng hàng

b: Vì G là trọng tâm

nên DG đi qua trung điểm của AB

a) Ta có: △ABC cân tại A

⇒AB=AC

Mà D,E lần lượt là trung điểm của AC,AB (BD,CE là 2 đường trung tuyến)

⇒BE=EA=AD=DC

Xét △ADB và △AEC có:

AE=AD (cmt)

ˆA: góc chung

AB=AC (gt)

⇒△ADB=△AEC (c.g.c)

⇒BD=CE (2 cạnh tương ứng)

b) Xét △BCD và △CBE có:

BE=DC (cm câu a)

BD=CE (cm câu a)

BC: cạnh chung

⇒△BCD=△CBE (c.c.c)

⇒ˆCBD=ˆBCE (2 góc tương ứng)

⇒△GBC cân tại G (đpcm)

c) Ta có: G là trọng tâm của △ABC (giao điểm của 2 đường trung tuyến BD và CE)

⇒GE=1/2GC

    GD=1/2GB

Do đó: GE+GD=1/2(GC+GB)

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

GC+CB>BC

⇒GE+GD>1/2BC (đpcm)

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(GB=23BM;GC=23CNGB=32​BM;GC=32​CN\)

Xét ΔGBC có GB+GC>BC

=>\(23(BM+CN)>BC32​(BM+CN)>BC\)

=>\(BM+CN>32BCBM+CN>23​BC\)