Giả thiết

Tam giác \(A B C\) (\(A B < A C\)), \(A H\) là đường cao (\(H \in B C , \&\text{nbsp}; A H \bot B C\)).
\(E , D , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , A C , B C\).

a) Chứng minh \(D E\) là đường trung trực của \(A H\)

Bước 1. Chứng minh \(D E \bot A H\)

• \(E , D\) là trung điểm của \(A B , A C\) nên \(D E\) là đường trung bình của tam giác \(A B C\).
• Suy ra \(D E \parallel B C\).
• Do \(A H \bot B C\) nên:

\(D E \bot A H\)

Bước 2. Chứng minh \(D E\) đi qua trung điểm của \(A H\)

• Xét tam giác vuông \(A B H\) tại \(H\):
  \(E\) là trung điểm của cạnh huyền \(A B\) nên
  \(E A = E H\)
• Xét tam giác vuông \(A C H\) tại \(H\):
  \(D\) là trung điểm của cạnh huyền \(A C\) nên
  \(D A = D H\)

⇒ \(E\) và \(D\) đều cách đều hai điểm \(A\) và \(H\), do đó đường thẳng \(D E\) chính là đường trung trực của đoạn \(A H\).

✔ Kết luận: \(D E\) là đường trung trực của \(A H\).

b) Chứng minh tứ giác \(D E H K\) là hình thang cân

Bước 1. Chứng minh \(D E \parallel H K\)

• Ta đã có \(D E \parallel B C\).
• \(K\) là trung điểm của \(B C\) nên \(H K \subset B C\).

Suy ra:

\(D E \parallel H K\)

⇒ \(D E H K\) là hình thang.

Bước 2. Chứng minh hình thang \(D E H K\) là cân

• Từ câu a), \(D E\) là đường trung trực của \(A H\) nên phép đối xứng qua \(D E\) biến:
  \(A \leftrightarrow H , B \leftrightarrow C\)
• Do đó:
• • Trung điểm \(E\) của \(A B\) đối xứng với trung điểm \(D\) của \(A C\),
  • Trung điểm \(K\) của \(B C\) nằm trên trục đối xứng.

⇒ Hai cạnh bên của hình thang:

\(E H = D K\)

Vì có một cặp cạnh song song và hai cạnh bên bằng nhau nên \(D E H K\) là hình thang cân.

✅ Kết luận

a) \(D E\) là đường trung trực của \(A H\).
b) Tứ giác \(D E H K\) là hình thang cân.

Ta xét tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) (\(A B < A C\)), \(A H\) là đường cao (\(H \in B C\)).
Từ \(H\) kẻ \(H E \bot A B\) tại \(E\), \(H F \bot A C\) tại \(F\).
Gọi \(O = A H \cap E F\).

a) Chứng minh \(A E H F\) là hình chữ nhật và \(O H = O F\)

Chứng minh \(A E H F\) là hình chữ nhật

• Do \(A B \bot A C\) nên:
  \(H E \bot A B \Rightarrow H E \parallel A C , H F \bot A C \Rightarrow H F \parallel A B\)
• Mà \(E \in A B , \&\text{nbsp}; F \in A C\) nên:
  \(A E \parallel H F , A F \parallel H E\)

⇒ Tứ giác \(A E H F\) là hình bình hành.

• Lại có:
  \(A E \bot A F \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; A B \bot A C \left.\right)\)

⇒ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

✔ Vậy \(A E H F\) là hình chữ nhật.

Chứng minh \(O H = O F\)

• Trong hình chữ nhật \(A E H F\), hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• \(O\) là giao điểm của \(A H\) và \(E F\) nên \(O\) là trung điểm của \(H F\).

\(\Rightarrow O H = O F\)

b) Chứng minh \(C F \cdot C H = C A \cdot C D\) và \(F H\) là tia phân giác góc \(E F D\)

Chứng minh \(C F \cdot C H = C A \cdot C D\)

• Xét tam giác vuông \(A B C\) có:
• • \(A H\) là đường cao
  • \(H F \bot A C\)
  • \(F D \bot B C\)
• Xét hai tam giác vuông:
  \(\triangle C F H sim \triangle C A D\)

(do có một góc nhọn bằng nhau và đều là tam giác vuông)

⇒ Từ hệ thức đồng dạng:

\(\frac{C F}{C A} = \frac{C D}{C H} \Rightarrow C F \cdot C H = C A \cdot C D\)

Chứng minh \(F H\) là tia phân giác góc \(E F D\)

• Ta có:
• • \(H E \bot A B , \&\text{nbsp}; H F \bot A C\)
  • \(A B \bot A C\)

⇒ Suy ra:

\(\angle E F H = \angle H F D\)

• Do đó, \(F H\) chia góc \(\angle E F D\) thành hai góc bằng nhau.

✔ Vậy \(F H\) là tia phân giác của góc \(E F D\).

✅ Kết luận

a) \(A E H F\) là hình chữ nhật và \(O H = O F\).
b) \(C F \cdot C H = C A \cdot C D\) và \(F H\) là tia phân giác của góc \(E F D\).

ủa j zậy

kkk

ko

Ta xét tam giác \(A B C\) (\(A B < A C\)), \(A H\) là đường cao (\(H \in B C , \&\text{nbsp}; A H \bot B C\)).
\(E , D , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , A C , B C\).

a) Chứng minh \(D E\) là đường trung trực của \(A H\)

Bước 1: Chứng minh \(D E \bot A H\)

• \(E , D\) là trung điểm của \(A B , A C\) nên \(D E\) là đường trung bình của tam giác \(A B C\).
• Suy ra \(D E \parallel B C\).
• Mà \(A H \bot B C\) nên \(A H \bot D E\).

Bước 2: Chứng minh \(D E\) đi qua trung điểm của \(A H\)

• Xét tam giác vuông \(A B H\) tại \(H\):
  \(E\) là trung điểm của cạnh huyền \(A B\) nên
  \(E A = E B = E H\)
• Tương tự, trong tam giác vuông \(A C H\) tại \(H\):
  \(D\) là trung điểm của cạnh huyền \(A C\) nên
  \(D A = D C = D H\)
• Suy ra \(E\) và \(D\) đều cách đều hai điểm \(A\) và \(H\), nên đường thẳng \(D E\) là đường trung trực của đoạn \(A H\).

✔ Vậy \(D E\) là đường trung trực của \(A H\).

b) Chứng minh tứ giác \(D E H K\) là hình thang cân

Bước 1: Chứng minh \(D E \parallel H K\)

• Ta đã có \(D E \parallel B C\).
• \(K\) là trung điểm của \(B C\) nên \(H K \subset B C\).
• Suy ra:

\(D E \parallel H K\)

→ \(D E H K\) là hình thang.

Bước 2: Chứng minh hình thang \(D E H K\) là cân

• Từ câu a), \(D E\) là đường trung trực của \(A H\)
  ⇒ \(A\) và \(H\) đối xứng qua \(D E\).
• Do đó:

\(E H = D H\)

• Trong hình thang \(D E H K\), hai cạnh bên bằng nhau nên hình thang là hình thang cân.

✅ Kết luận

a) \(D E\) là đường trung trực của \(A H\).
b) Tứ giác \(D E H K\) là hình thang cân.

hi

kkkkk

///

hi