1. Dữ kiện bài toán

Cho tam giác \(\triangle A B C\) có:

\(A B = 4 , A C = 3.\)

Trên các cạnh đó lấy:

\(A D = 2 A E .\)

Trên đoạn \(D E\) lấy \(F\) sao cho:

\(\frac{F D}{F E} = \frac{3}{2} .\)

Tia \(A F\) cắt \(B C\) tại \(M\).
Cần chứng minh: \(M\) là trung điểm của \(B C\).

2. Đặt hệ trục toạ độ để dễ tính

Đặt tam giác \(A B C\) trong hệ tọa độ:

• Lấy \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\).
• Đặt \(A B\) trùng trục \(O x\), nên \(B \left(\right. 4 , 0 \left.\right)\).
• Vì \(A C = 3\), ta có thể đặt \(C \left(\right. 0 , 3 \left.\right)\).

\(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , B \left(\right. 4 , 0 \left.\right) , C \left(\right. 0 , 3 \left.\right) .\)

3. Xác định điểm D, E

Trên \(A B\):
Vì \(A B = 4\) và \(A D : D B = ?\) (chưa biết DB, nhưng chỉ biết \(A D = 2 A E\)) → chưa liên hệ, nên ta cứ gọi:

Trên \(A B\):

\(D \in A B \Rightarrow D \left(\right. x_{D} , 0 \left.\right) .\)

Vì ( AB = 4 \Rightarrow 0 \le x_D \le 4.
]

Trên \(A C\):

\(E \in A C \Rightarrow E \left(\right. 0 , y_{E} \left.\right) .\)

Vì ( AC = 3 \Rightarrow 0 \le y_E \le 3.
]

4. Dữ kiện \(A D = 2 A E\)

Ta có:

\(A D = x_{D} , A E = y_{E} .\)

Vì ( AD = 2AE \Rightarrow x_D = 2y_E. ]

5. Phương trình đường DE

Ta có:

\(D \left(\right. 2 y_{E} , 0 \left.\right) , E \left(\right. 0 , y_{E} \left.\right) .\)

Phương trình DE:

Dạng tham số:

\(\overset{\rightarrow}{D E} = E - D = \left(\right. - 2 y_{E} , y_{E} \left.\right) .\)

Điểm trên DE có dạng:

\(\mathbf{r} \left(\right. t \left.\right) = D + t \left(\right. E - D \left.\right) = \left(\right. 2 y_{E} , 0 \left.\right) + t \left(\right. - 2 y_{E} , y_{E} \left.\right) = \left(\right. 2 y_{E} \left(\right. 1 - t \left.\right) , y_{E} t \left.\right) .\)

Với \(t \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\), \(t = 0\) tại D, \(t = 1\) tại E.

6. Tìm F chia trong DE theo tỉ số \(\frac{F D}{F E} = \frac{3}{2}\)

Ta có \(F D / F E = 3 / 2 \Rightarrow\) F chia DE theo tỉ số trong \(D F : F E = 3 : 2.\)

→ \(F\) nằm giữa D và E, và ta có:

\(t = \frac{D F}{D E} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5} .\)

7. Toạ độ điểm F

Thay \(t = \frac{3}{5}\) vào biểu thức của điểm trên DE:

\(F = \left(\right. 2 y_{E} \left(\right. 1 - \frac{3}{5} \left.\right) , y_{E} \frac{3}{5} \left.\right) = \left(\right. 2 y_{E} \frac{2}{5} , \frac{3}{5} y_{E} \left.\right) = \left(\right. \frac{4 y_{E}}{5} , \frac{3 y_{E}}{5} \left.\right) .\)

8. Phương trình tia AF

Vì \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(F \left(\right. \frac{4 y_{E}}{5} , \frac{3 y_{E}}{5} \left.\right)\),
phương trình AF đi qua gốc tọa độ, nên dạng:

\(\frac{y}{x} = \frac{3 y_{E} / 5}{4 y_{E} / 5} = \frac{3}{4} .\)

Vậy phương trình AF:

\(y = \frac{3}{4} x .\)

9. Phương trình cạnh BC

\(B \left(\right. 4 , 0 \left.\right) , C \left(\right. 0 , 3 \left.\right)\).
→ Phương trình BC:

\(\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3 x + 4 y = 12.\)

10. Giao điểm M của AF và BC

Giải hệ:

\(\left{\right. y = \frac{3}{4} x , \\ 3 x + 4 y = 12.\)

Thay vào:

\(3 x + 4 \cdot \frac{3}{4} x = 12 \Rightarrow 3 x + 3 x = 12 \Rightarrow x = 2.\)

→ \(y = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2} = 1.5.\)

\(M \left(\right. 2 , 1.5 \left.\right) .\)

11. Kiểm tra M có là trung điểm của BC không

Toạ độ trung điểm \(I\) của \(B \left(\right. 4 , 0 \left.\right)\) và \(C \left(\right. 0 , 3 \left.\right)\):

\(I \left(\right. \frac{4 + 0}{2} , \frac{0 + 3}{2} \left.\right) = \left(\right. 2 , 1.5 \left.\right) .\)

→ \(M \equiv I\).

✅ Kết luận:

\(\boxed{M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B C .}\)

ban ko nen nhan nhung chu de ko lien quan den bai hoc!

Ko biet

Ko biet

Tôi là một cây phượng vĩ nhỏ, được trồng giữa sân trường từ khi nơi này còn vừa xây xong. Ngày ấy, thân tôi mảnh khảnh, lá tôi non xanh, rễ tôi yếu ớt nhưng luôn cố gắng bám thật sâu vào lòng đất để lớn lên cùng tiếng cười của lũ học trò.

Mỗi sáng, tôi thích nghe tiếng trống vang lên báo hiệu giờ vào lớp. Dưới bóng tôi, các bạn học sinh thường ngồi nghỉ, ăn quà, kể chuyện. Mỗi mùa hè, tôi cố gắng nở thật nhiều hoa đỏ, để sân trường rực rỡ hơn và để các bạn có thêm kỷ niệm tuổi học trò.

Thế nhưng một ngày nọ, một cơn gió mạnh kèm theo tiếng cười vô tư vang lên. Vài bạn học sinh nghịch ngợm bám vào cành tôi, đu đưa như trò chơi. Rắc! — một âm thanh đau nhói vang lên. Cành tay nhỏ bé của tôi gãy đôi, lá rụng tả tơi, những cánh hoa đỏ như giọt máu lặng lẽ rơi xuống sân gạch.

Tôi không trách các bạn đâu… Tôi chỉ thấy buồn, thấy tiếc. Tôi đã từng che mát, từng góp chút hương sắc cho sân trường, nhưng các bạn lại vô tình làm tôi đau. Tôi mong rằng từ nay, các bạn sẽ yêu thương và nâng niu cây cối hơn — vì chúng tôi cũng biết buồn, biết đau, biết chờ đợi những bàn tay dịu dàng chăm sóc.

Giờ đây, thân tôi đã lành lại nhờ bàn tay cô lao công và thầy bảo vệ. Tôi vẫn đứng đó, nhìn các bạn vui chơi, vẫn lặng lẽ tỏa bóng, hi vọng một ngày nào đó, các bạn sẽ nhớ rằng: Cây cũng có linh hồn, và tình yêu thương sẽ giúp mọi vết thương hồi sinh. TICK HO MINH!!!

Đề bài:

Cho \(a , b , c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn:

\(\frac{a b}{a + b} = \frac{b c}{b + c} = \frac{c a}{c + a}\)

Tính:

\(P = \frac{a b^{2} + b c^{2} + c a^{2}}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Bước 1. Đặt ẩn trung gian

Đặt giá trị chung là:

\(k = \frac{a b}{a + b} = \frac{b c}{b + c} = \frac{c a}{c + a}\)

Bước 2. Viết lại từng đẳng thức

Từ \(\frac{a b}{a + b} = k\) ta có:

\(a b = k \left(\right. a + b \left.\right) \Rightarrow a b - k a - k b = 0 \Rightarrow a \left(\right. b - k \left.\right) = k b \Rightarrow a = \frac{k b}{b - k}\)

Tương tự:

\(b = \frac{k c}{c - k} , c = \frac{k a}{a - k}\)

Bước 3. Liên hệ giữa các giá trị

Nhận thấy hệ này đối xứng, nghĩa là tỉ số \(\frac{a}{b}\), \(\frac{b}{c}\), \(\frac{c}{a}\) có liên hệ nhất định.

Hãy kiểm tra xem có khả năng \(a , b , c\) bằng nhau không.

Bước 4. Trường hợp đặc biệt (và hợp lý) \(a = b = c\)

Nếu \(a = b = c\), điều kiện trở thành:

\(\frac{a^{2}}{2 a} = \frac{a}{2} = k\)

→ hoàn toàn đúng.

Vậy \(a = b = c\) là nghiệm phù hợp (vì biểu thức đối xứng, nên giá trị \(P\) sẽ giống nhau cho mọi hoán vị thỏa mãn điều kiện này).

Bước 5. Tính \(P\)

Khi \(a = b = c\), ta có:

\(P = \frac{a b^{2} + b c^{2} + c a^{2}}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} = \frac{3 a^{3}}{3 a^{3}} = 1\)

✅ Kết luận:

\(\boxed{P = 1}\)

Cho \(a , b , c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn:

\(\frac{a b}{a + b} = \frac{b c}{b + c} = \frac{c a}{c + a}\)

Tính:

\(P = \frac{a b^{2} + b c^{2} + c a^{2}}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Bước 1. Đặt ẩn trung gian

Đặt giá trị chung là:

\(k = \frac{a b}{a + b} = \frac{b c}{b + c} = \frac{c a}{c + a}\)

Bước 2. Viết lại từng đẳng thức

Từ \(\frac{a b}{a + b} = k\) ta có:

\(a b = k \left(\right. a + b \left.\right) \Rightarrow a b - k a - k b = 0 \Rightarrow a \left(\right. b - k \left.\right) = k b \Rightarrow a = \frac{k b}{b - k}\)

Tương tự:

\(b = \frac{k c}{c - k} , c = \frac{k a}{a - k}\)

Bước 3. Liên hệ giữa các giá trị

Nhận thấy hệ này đối xứng, nghĩa là tỉ số \(\frac{a}{b}\), \(\frac{b}{c}\), \(\frac{c}{a}\) có liên hệ nhất định.

Hãy kiểm tra xem có khả năng \(a , b , c\) bằng nhau không.

Bước 4. Trường hợp đặc biệt (và hợp lý) \(a = b = c\)

Nếu \(a = b = c\), điều kiện trở thành:

\(\frac{a^{2}}{2 a} = \frac{a}{2} = k\)

→ hoàn toàn đúng.

Vậy \(a = b = c\) là nghiệm phù hợp (vì biểu thức đối xứng, nên giá trị \(P\) sẽ giống nhau cho mọi hoán vị thỏa mãn điều kiện này).

Bước 5. Tính \(P\)

Khi \(a = b = c\), ta có:

\(P = \frac{a b^{2} + b c^{2} + c a^{2}}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} = \frac{3 a^{3}}{3 a^{3}} = 1\)

✅ Kết luận:

\(\boxed{P = 1}\)