a) a) Tính  cos 𝛼 với  α𝛼 là góc giữa  ΔΔ và  Δ1 ∶ 12𝑥 −5𝑦 +7 =0

Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta sử dụng vectơ pháp tuyến (VTPT) của chúng:

• VTPT của  ΔΔ là  𝑛⃗ = ( 3 ; −4 ).
• VTPT của  Δ1Δ1 là  𝑛⃗1 = ( 12 ; −5 ).

Công thức tính côsin của góc  α𝛼 giữa hai đường thẳng là:
\(\cos\alpha=\)

Thay số vào:

• Tích vô hướng:  | 𝑛⃗ ⋅𝑛⃗1 |
• = | 3 ⋅12 + ( −4 ) ⋅ ( −5 ) | = | 36 +20 | =56
• Độ dài  n⃗𝑛⃗: 
• | 𝑛⃗ | =32+(−4)2√ =9+16√ =5
• Độ dài  n⃗1𝑛⃗1: 
• | 𝑛⃗1 | =122+(−5)2√ =144+25√ =13

Kết quả:
\(\cos\alpha=\frac{56}{5*13}\) \(=\frac{56}{65}\)

b) Viết phương trình đường thẳng  d𝑑 song song với  ΔΔ và tiếp xúc với  ( 𝐶 )

1. Phân tích đường tròn( 𝐶 ):
2. Tâm  𝐼 ( −3 ; 2 )
3. Bán kính  𝑅 =36√ =6
4. Thiết lập phương trình đường thẳng  d𝑑:
   Vì  𝑑 ∥Δ nên phương trình đường thẳng  d𝑑 có dạng:
   3x−4y+c=0(c≠7)3𝑥−4𝑦+𝑐=0(𝑐≠7)
5. Điều kiện tiếp xúc:
   Đường thẳng  d𝑑 tiếp xúc với đường tròn  ( 𝐶 ) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm  I𝐼 đến  d𝑑 đúng bằng bán kính  R𝑅:
   d(I,d)=R⟺
6. |3(-3)−4(2)+c|32+(-4)2= 6𝑑
7. (𝐼,𝑑)=𝑅⟺|3(−3)−4(2)+𝑐|32+(−4)2√ =6 ⟺|−9−8+c|5= 6⟺|−9−8+𝑐|5 =6 ⟺|c−17|= 30⟺|𝑐−17|= 30
8. Giải tìm  c𝑐:
9. • Trường hợp 1: 
   • 𝑐 −17 =30 ⟹𝑐 = 47 (thỏa mãn  𝑐 ≠7)
   • Trường hợp 2: 
10. 𝑐 −17 = −30 ⟹𝑐 = −13. (thỏa mãn  𝑐 ≠7)

Kết luận: Có hai đường thẳng  d𝑑 thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

• 𝑑1 ∶ 3𝑥 −4𝑦 +47 =0
• 𝑑2 ∶ 3𝑥 −4𝑦 −13 =0

Gọi \(O B\) là khoảng cách từ chân ngọn hải đăng đến \(B\) (km).
Vì khoảng cách từ \(A\) đến chân hải đăng là \(5\) km nên:

\(A B = 5 - O B\)

Chiều cao ngọn hải đăng là \(1\) km nên trong tam giác vuông \(O B C\):

\(B C = \sqrt{O B^{2} + 1^{2}} = \sqrt{O B^{2} + 1}\)

Theo đề bài, tổng tiền công kéo dây là \(13\) tỉ đồng:

\(2 A B + 3 B C = 13\)

Thay vào:

\(2 \left(\right. 5 - O B \left.\right) + 3 \sqrt{O B^{2} + 1} = 13\)\(10 - 2 O B + 3 \sqrt{O B^{2} + 1} = 13\)\(3 \sqrt{O B^{2} + 1} = 3 + 2 O B\)

Bình phương hai vế:

\(9 \left(\right. O B^{2} + 1 \left.\right) = \left(\right. 3 + 2 O B \left.\right)^{2}\)\(9 O B^{2} + 9 = 4 O B^{2} + 12 O B + 9\)\(5 O B^{2} - 12 O B = 0\)\(O B \left(\right. 5 O B - 12 \left.\right) = 0\)

Vì \(O B > 0\) nên:

\(O B = \frac{12}{5} = 2,4 \&\text{nbsp};\text{km}\)

Suy ra:

\(A B = 5 - 2,4 = 2,6 \&\text{nbsp};\text{km}\)\(B C = \sqrt{2,4^{2} + 1} = \sqrt{6,76} = 2,6 \&\text{nbsp};\text{km}\)

Vậy tổng chiều dài dây điện từ \(A\) đến \(C\) là:

\(A B + B C = 2,6 + 2,6 = 5,2 \&\text{nbsp};\text{km}\)

Đáp số: \(5,2\) km

Bình phương 2 vế
(2x2−8x+4)2=(x−2)2(2𝑥2−8𝑥+4√)2=(𝑥−2)2 2x2−8x+4=x2−4x+42𝑥2−8𝑥+4=𝑥2−4𝑥+4

\(Giải\) phương trình hệ quả:
Chuyển vế và rút gọn:
2x2−x2−8x+4x+4−4=02𝑥2−𝑥2−8𝑥+4𝑥+4−4=0 x2−4x=0𝑥2−4𝑥=0 x(x−4)=0𝑥(𝑥−4)=0Suy ra  𝑥 =0 hoặc  𝑥 =4.

1. Đối chiếu điều kiện:
2. • Với  𝑥 =0: Không thỏa mãn điều kiện  𝑥 ≥2(Loại).
   • Với  𝑥 =4: Thỏa mãn điều kiện  𝑥 ≥2 (Nhận).
3. Kết luận:
   Tập nghiệm của phương trình là:
   S={4}𝑆={4} phương hai vế:
   (2x2−8x+4)2=(x−2)2(2𝑥2−8𝑥+4√)2=(𝑥−2)2 2x2−8x+4=x2−4x+42𝑥2−8𝑥+4=𝑥2−4𝑥+4
4. Giải phương trình hệ quả:
   Chuyển vế và rút gọn:
   2x2−x2−8x+4x+4−4=02𝑥2−𝑥2−8𝑥+4𝑥+4−4=0 x2−4x=0𝑥2−4𝑥=0 x(x−4)=0𝑥(𝑥−4)=0Suy ra  𝑥 =0 hoặc  𝑥 =4.
5. Đối chiếu điều kiện:
6. • Với  𝑥 =0: Không thỏa mãn điều kiện  𝑥 ≥2(Loại).
   • Với  𝑥 =4: Thỏa mãn điều kiện  𝑥 ≥2 (Nhận).
7. Kết luận:
   Tập nghiệm của phương trình là:
   S={4}𝑆={4}

Bài giải

Gọi \(x\) (cm) là độ rộng viền khung ảnh \(\left(\right. x > 0 \left.\right)\).

Khi đó kích thước khung ảnh bên ngoài là:

• Chiều dài: \(25 + 2 x\) (cm)
• Chiều rộng: \(17 + 2 x\) (cm)

Diện tích cả khung ảnh là:

\(S = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)

Theo đề bài:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \leq 513\)

Khai triển:

\(425 + 84 x + 4 x^{2} \leq 513\)\(4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 \leq 0\)

Giải phương trình:

\(x^{2} + 21 x - 22 = 0\)\(x = \frac{- 21 \pm 23}{2}\)\(x_{1} = - 22 , x_{2} = 1\)

Vì \(x > 0\) nên:

\(0 < x \leq 1\)

Vậy độ rộng viền khung ảnh tối đa là \(1\) cm.

Đáp số: \(1\) cm.

Câu 18

\(\left(\right. C \left.\right) : \left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. y + 2 \left.\right)^{2} = 36\)

⇒ Tâm \(I \left(\right. 3 ; - 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\).

\(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0\)

a) tính : \(cos ⁡ \alpha\)

\(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0 \Rightarrow \left(\right. a_{1} , b_{1} \left.\right) = \left(\right. 3 , 4 \left.\right)\)\(\Delta_{1} : 5 x - 12 y + 7 = 0 \Rightarrow \left(\right. a_{2} , b_{2} \left.\right) = \left(\right. 5 , - 12 \left.\right)\)

Công thức:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \mid}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}\)\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid 3 \cdot 5 + 4 \left(\right. - 12 \left.\right) \mid}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}} \sqrt{5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2}}}\)\(= \frac{\mid 15 - 48 \mid}{5 \cdot 13} = \frac{33}{65}\)\(\boxed{cos ⁡ \alpha = \frac{33}{65}}\)

b)

Đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) có dạng:

\(4 x - 3 y + d = 0\)

Vì tiếp xúc với \(\left(\right. C \left.\right)\):

\(d \left(\right. I , \Delta^{'} \left.\right) = R\)\(\frac{\mid 4 \cdot 3 - 3 \left(\right. - 2 \left.\right) + d \mid}{\sqrt{4^{2} + \left(\right. - 3 \left.\right)^{2}}} = 6\)\(\frac{\mid 12 + 6 + d \mid}{5} = 6\)\(\mid 18 + d \mid = 30\)\(18 + d = 30 \Rightarrow d = 12\)\(18 + d = - 30 \Rightarrow d = - 48\)

Vậy các đường thẳng cần tìm:

\(4x-3y+12=0\)

\(4x-3y-48=0\)

Câu 1

Ta có: \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\)

Vì \(f \left(\right. x \left.\right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên cần:

• \(a > 0\)
• \(\Delta < 0\)

Ở đây: \(a = 1 > 0\) (luôn đúng)

Tính \(\Delta\):

\(\Delta = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m + 5 \left.\right)\)\(= \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\)\(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20\)\(= m^{2} - 6 m - 19\)

Điều kiện:

\(m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải bất phương trình:

\(m^{2} - 6 m - 19 = 0\)\(m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 76}}{2}\)\(m = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Suy ra:

\(3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}\)

Vậy \(m\) thỏa mãn:

\(\boxed{3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}}\)

Câu2

Điều kiện:

\(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)

Bình phương hai vế:

\(2x^2-8x+4x=\left(x-2\right)^2\)

\(2x^2-8x+4=x^2-4x+4\)

\(x^2-4x=0\)

\(x\left(x-4\right)=0\)

\(x=0\) hoặc \(x=4\)

Vì \(x\ge2\) nên \(x=0\) ( loại) , \(x=4\) ( t/m)

Vậy nghiệm của phương trình là : \(x=4\)