Kích thước của cả khung ảnh là \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\) cm x \(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right)\) cm (Điều kiện: \(x > 0\))

Diện tích cả khung ảnh là: S = \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right) . \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là \(513\) cm² thì  \(S = 4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513\)

\(\Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0 \Leftrightarrow - 22 \leq x \leq 1\). Vì \(x > 0\) nên \(x \in \left(\right. 0 ; 1 \left]\right.\)

Vậy cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa \(1\) (cm).

a,

\(cos ⁡ \alpha = \mid cos ⁡ \left(\right. \overset{\rightarrow}{n_{\Delta}} ; \overset{\rightarrow}{n_{\Delta_{1}}} \left.\right) \mid = \frac{\mid 3.5 + 4. \left(\right. - 12 \left.\right) \mid}{5.13} = \frac{33}{65}\).

b) \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(I \left(\right. 3 ; - 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\)

Đường thẳng \(d\) có dạng \(4 x - 3 y + m = 0\) (\(m\) khác \(7\))

\(d\) tiếp xúc \(\left(\right. C \left.\right)\) khi và chỉ khi \(d \left(\right. I , d \left.\right) = R \Leftrightarrow \frac{\mid 12 + 6 + m \mid}{5} = 6\).

Tìm được \(m = - 48\)(TM), \(m = 12\) (TM)

Vậy có hai đường thẳng \(d\) thỏa mãn là \(4 x - 3 y - 48 = 0\) và \(4 x - 3 y + 12 = 0\).

a,để tam thức bậc 2 \(f\left(x\right)\) = \(ax^2+bx+c\) luôn dương với mọi \(x\in R\) (\(f\left(x\right)>0,\forall x\in R)\) ,ta cần điều kiện:\(\begin{cases}a>0\\ denta<0\end{cases}\)

hệ số a=1>0(luôn đúng)

biệt thức denta: \(denta=\left(m-1\right)^2-4\left(1\right)\left(m+5\right)\)

\(=m^2-2m+1-4m-20\)

=\(m^2-6m-19\)

Để \(f\left(x\right)>0\forall x\in R\) ,ta giải bất phương trình denta<0:

\(m^2-6m-19<0\)

Xét phương trình \(m^2-6m-19=0\) có nghiệm:\(m=3+-2\sqrt7\)

Vì hệ số của \(m^2\) là 1>0,nên tam thức bậc hai theo m này âm trong khoảng giữa hai nghiệm

Vậy giá trị m cần tìm là \(3-2\sqrt7<M<3+2\sqrt7\)

b,\(2x^2-8x+4=x^2-4x+4\)

\(x^2-4x=0\)

\(x\left(x-4\right)=0\)

\(\begin{cases}x=0\\ x=4\end{cases}\)

thử vào ta thấy x=4 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={4}