5,2

a)cos 𝛼 =5

b)𝑑1 ∶ 3𝑥 −4𝑦 +47 =0

𝑑2 ∶ 3𝑥 −4𝑦 −13 =0

a)\(-1\le x\le10\)

b)\(x=4\)

1. Kích thước của hình chữ nhật bên trong: Chiều dài là \(25\) cm và chiều rộng là \(17\) cm.
2. Kích thước của khung ảnh lớn: Với chiều rộng viền là \(x\), chiều dài và chiều rộng của khung ảnh sẽ là:
3. • Chiều dài: \(25 + 2 x\)
   • Chiều rộng: \(17 + 2 x\)
4. Diện tích của cả khung ảnh:
   \(A = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)
   Chúng ta cần phương trình này không vượt quá diện tích tối đa là \(513\) cm²:
   \(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 513\)
5. Giải phương trình:
   \(25 \cdot 17 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 513\)
   \(425 + 84 x + 4 x^{2} = 513\)
   \(4 x^{2} + 84 x + 425 - 513 = 0\)
   \(4 x^{2} + 84 x - 88 = 0\)
6. Rút gọn phương trình:
   \(x^{2} + 21 x - 22 = 0\)
7. Giải phương trình bậc hai bằng công thức:
   \(x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}\)
   trong đó \(a = 1\), \(b = 21\), và \(c = - 22\):
   \(x = \frac{- 21 \pm \sqrt{2 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 22 \left.\right)}}{2 \cdot 1}\)
   \(= \frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 88}}{2}\)
   \(= \frac{- 21 \pm \sqrt{529}}{2}\)
   \(= \frac{- 21 \pm 23}{2}\)
8. Tính toán hai nghiệm:
9. • Nghiệm 1:
     \(x = \frac{2}{2} = 1\)
   • Nghiệm 2:
     \(x = \frac{- 44}{2} = - 22 \left(\right. \text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng} \& \text{nbsp} ; \text{h}ợ\text{p} \& \text{nbsp} ; \text{l}ệ \& \text{nbsp} ; \text{v} \& \text{nbsp} ; \text{khung} \& \text{nbsp} ; \text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng} \& \text{nbsp} ; \text{th}ể \& \text{nbsp} ; \text{c} \& \text{nbsp} ; độ \& \text{nbsp} ; \text{r}ộ\text{ng} \& \text{nbsp} ; \hat{\text{a}} \text{m} \left.\right)\)

Kết luận:

Vậy độ rộng viền khung ảnh tối đa mà bạn Hà có thể làm là \(x = 1\) cm.

a) Tính \(c o s ⁡ \alpha\)

1. Xác định hệ số a, b của các đường thẳng:
2. • Đường thẳng \(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0\) => \(a_{1} = 3 , b_{1} = 4\)
   • Đường thẳng \(\Delta_{1} : 5 x - 12 y + 7 = 0\) => \(a_{2} = 5 , b_{2} = - 12\)
3. Sử dụng công thức tính \(cos ⁡\) của góc giữa hai đường thẳng:
   \(c o s ⁡ \alpha = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}{\sqrt{\left(\right. a_{1}^{2} + b_{1}^{2} \left.\right) \left(\right. a_{2}^{2} + b_{2}^{2} \left.\right)}}\)
4. Thay số và tính toán:
   \(c o s ⁡ \alpha = \frac{3 \cdot 5 + 4 \cdot \left(\right. - 12 \left.\right)}{\sqrt{\left(\right. 3^{2} + 4^{2} \left.\right) \left(\right. 5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2} \left.\right)}}\)
   \(= \frac{15 - 48}{\sqrt{\left(\right. 9 + 16 \left.\right) \left(\right. 25 + 144 \left.\right)}}\)
   \(= \frac{- 33}{\sqrt{25 \cdot 169}} = \frac{- 33}{65}\)

Kết quả a:

\(c o s ⁡ \alpha = \frac{- 33}{65}\)

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và tiếp xúc \(\left(\right. C \left.\right)\)

1. Tính hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\):
   \(\text{H}ệ \& \text{nbsp} ; \text{s} \& \text{nbsp} ; \text{g} \text{c} \& \text{nbsp} ; \left(\right. \text{m} \left.\right) \& \text{nbsp} ; \text{c}ủ\text{a} \& \text{nbsp} ; \Delta = - \frac{a_{1}}{b_{1}} = - \frac{3}{4}\)
2. Hệ số góc của đường thẳng vuông góc với \(\Delta\):
   \(m_{1} = \frac{4}{3}\)
3. Viết phương trình dạng tổng quát:
   \(y - y_{0} = m_{1} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)
   với \(\left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) là điểm tiếp xúc. Điểm tiếp xúc sẽ nằm trên đường tròn, nên ta cần tìm điểm đó.
4. Tính tọa độ tâm và bán kính:
   Tâm \(T \left(\right. 3 , - 2 \left.\right)\) và bán kính \(R = 6\) (vì \(\left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. y + 2 \left.\right)^{2} = 36\))
5. Phương trình đường thẳng tiếp xúc tại điểm \(P\) có tọa độ \(\left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) sẽ có dạng:
   \(\left(\right. y + 2 \left.\right) = \frac{4}{3} \left(\right. x - 3 \left.\right)\)
   Thay \(y\) vào phương trình đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\):
   \(\left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\left(\right. \left(\right. \frac{4}{3} \left(\right. x - 3 \left.\right) - 2 \left.\right) \left.\right)\right)^{2} = 36\)
6. Giải phương trình để tìm \(x_{0}\) và \(y_{0}\):
   Giải phương trình trên sẽ cho ta điểm tiếp xúc \(\left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\).
7. Từ tọa độ \(P \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\), viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và có dạng:
   \(y - y_{0} = \frac{4}{3} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)

a) Ta có \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) có \(\Delta^{'} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m + 5 \left.\right) = m^{2} - 3 m - 4\)

Lại có hệ số \(a = 1 > 0\).

Để \(f \left(\right. x \left.\right)\) luôn dương (cùng dấu hệ số \(a\)) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta^{'} < 0\) \(\Leftrightarrow m^{2} - 3 m - 4 < 0\).

Xét tam thức \(h \left(\right. m \left.\right) = m^{2} - 3 m - 4\) có \(\Delta_{m} = 9 - 4. \left(\right. - 4 \left.\right) = 25 > 0\) nên \(h \left(\right. m \left.\right)\) có hai nghiệm là \(m_{1} = - 1\) và \(m_{2} = 4\).

Ta có bảng xét dấu của \(h \left(\right. m \left.\right)\):

Do đó \(h \left(\right. m \left.\right) < 0\) với mọi \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\)

Hay \(\Delta^{'} < 0\) với mọi \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\)

Vậy \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\) thì tam thức bậc hai \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b) Bình phương hai vế ta được: \(2 x^{2} - 8 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4\)

\(\Leftrightarrow x^{2} - 4 x = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 4\)

Thử lại nghiệm được \(x = 4\) thỏa mãn phương trình.

Vậy tập nghiệm \(S = 4\).