Xét tam giác \(A B C\) có \(B C \bot \&\text{nbsp}; A B^{'}\) và \(B^{'} C^{'} \bot A B^{'}\) nên suy ra \(B C\) // \(B^{'} C^{'}\).

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{A B}{A B^{'}} \&\text{nbsp}; = \frac{B C}{B C^{'}}\)

Suy ra \(\frac{x}{x + h} \&\text{nbsp}; = \frac{a}{a^{'}}\)

\(a^{'} . x = a \left(\right. x + h \left.\right)\)

\(a^{'} . x - a x = a h\)

\(x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h\)

\(x = \frac{a h}{a^{'} \&\text{nbsp}; - a}\).

Trong tam giác \(A D B\), ta có: \(M N\) // \(A B\) (gt)

Suy ra \(\frac{D N}{D B} \&\text{nbsp}; = \frac{M N}{A B}\) (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác \(A C B\), ta có: \(P Q\) // \(A B\) (gt)

Suy ra \(\frac{C Q}{C B} \&\text{nbsp}; = \frac{P Q}{A B}\) (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: \(N Q\) // \(A B\) (gt); \(A B\) // \(C D\) (gt)

Suy ra \(N Q\) // \(C D\)

Trong tam giác \(B D C\), ta có: \(N Q\) // \(C D\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\frac{D N}{D B} \&\text{nbsp}; = \frac{C Q}{C B}\) (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{PQ}{AB} hay $MN = PQ$ (đpcm).

Khi đó, \(A D\) là đường trung tuyến của tam giác \(A B C\).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\) nên điểm \(G\) nằm trên cạnh \(A D\).

Ta có \(\frac{A G}{A D} = \frac{2}{3}\) hay \(A G = \frac{2}{3} A D\).

Vì \(M G\) // \(A B\), theo định lí Thalès, ta suy ra: \(\frac{A G}{A D} = \frac{B M}{B D} = \frac{2}{3}\).

Ta có \(B D = C D\) (vì \(D\) là trung điểm của cạnh \(B C\)) nên \(\frac{B M}{B C} = \frac{B M}{2 B D} = \frac{2}{2.3} = \frac{1}{3}\).

Do đó \(B M = \frac{1}{3} B C\) (đpcm).

ABCD là hình thang suy ra \(A B\) // \(C D\).

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{O A}{O C} \&\text{nbsp}; = \frac{O B}{O D}\)

Suy ra \(O A . O D = O B . O C\) (đpcm).

ABCD là hình thang suy ra \(A B\) // \(C D\).

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{O A}{O C} \&\text{nbsp}; = \frac{O B}{O D}\)

Suy ra \(O A . O D = O B . O C\) (đpcm).

a) Tứ giác \(� � � �\) có \(\hat{� � �} = \hat{� � �} = \hat{� � �} = 90^{\circ}\) nên là hình chữ nhật.

\(\Delta � � �\) vuông cân tại \(�\) có \(� �\) là trung tuyến nên \(� �\) cũng là đường phân giác \(\hat{� � �}\).

Hình chữ nhật \(� � � �\) có đường chéo \(� �\) là tia phân giác \(\hat{� � �}\) nên là hình vuông.

b) \(\Delta � � �\) vuông tại \(�\) có \(� � = � �\) nên vuông cân tại \(�\)

Suy ra \(\hat{�_{1}} = 45^{\circ} = \hat{�}\) mà \(\hat{�_{1}} , \hat{�}\) đồng vị nên \(� �\) // \(� � .\)

c) Gọi \(�\) là giao của \(� �\) với \(� �\) suy ra \(� � = � � = � � = � �\)

\(\Delta � � �\) vuông tại \(�\) có \(� �\) là đường trung tuyến nên \(� � = � � = � �\)

\(\Delta � � �\) có \(� �\) là đường trung tuyến mà \(� � = \frac{� �}{2}\) suy ra \(\Delta � � �\) vuông tại \(� .\)

a) Tứ giác \(� � � �\) có \(\hat{� � �} = \hat{�} = \hat{�} = 90^{\circ}\) nên \(� � � �\) là hình chữ nhật.

b) Vì \(� � ⊥ � �\) và \(� � ⊥ � �\) nên \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\hat{�} = \hat{� � �}\) (so le trong).

Xét \(\Delta � � �\) và \(\Delta � � �\) có:

     \(\hat{�} = \hat{�} = 90^{\circ}\)

     \(� � = � �\) (giả thiết)

     \(\hat{� � �} = \hat{�}\) (so le trong)

Vậy \(\Delta � � � = \Delta � � �\) (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra \(� � = � �\) (hai cạnh tương ứng) mà \(� � = � �\) nên \(� � = � �\).

Tứ giác \(� � � �\) có hai đường chéo \(� � , � �\) cắt nhau tại \(�\) là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà \(� � ⊥ � �\) suy ra \(� � � �\) là hình thoi.

c) Để \(� � � �\) là hình vuông thì \(� � ⊥ � �\) hay \(� �\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên \(\Delta � � �\) vuông cân tại \(� .\)

d) Giả sử \(� �\) cắt \(� �\) tại \(�\) và \(� �\) cắt \(� �\) tại \(�\).

Khi đó \(\Delta � � �\) có \(� � = � �\) nên \(\&\text{nbsp}; \Delta � � �\) cân tại \(�\) suy ra \(\hat{�_{1}} = \hat{� � �}\)

\(\Delta � � �\) cân tại \(�\) suy ra \(\hat{�_{1}} = \hat{�}\)

Do đó, \(\hat{�_{1}} + \hat{�_{1}} = \hat{�} + \hat{� � �} = 90^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta � � �\) vuông tại \(�\) hay \(� � ⊥ � � .\)

a) Tứ giác \(� � � �\) có hai đường chéo \(� � , � �\) cắt nhau tại trung điểm \(�\) của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Ta có \(� � ⊥ � �\); \(� �\) // \(� �\) suy ra \(� � ⊥ � �\).

Tứ giác \(� � � �\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo \(� � , � �\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà \(� � = � �\) nên \(�\) là trung điểm của \(� �\).

Suy ra \(� , � , �\) thẳng hàng.

c) Để tứ giác \(� � � �\) là hình vuông thì ta cần \(� � ⊥ � � , � � = � �\) hay \(\Delta � � �\) vuông cân tại \(� .\)

a) Ta có \(� � = � �\) suy ra \(\frac{� �}{2} = \frac{� �}{2}\) nên \(� � = � �\) và \(� �\) // \(� �\)

Do đó, \(� � � �\) là hình bình hành.

Lại có \(� � = � � = \frac{� �}{2} = � �\) nên \(� � � �\) là hình thoi

b) \(� �\) // \(� �\) suy ra \(� � � �\) là hình thang.

Mà \(\hat{� � �} = 120^{\circ}\) mà \(� �\) là phân giác \(\hat{� � �}\) nên \(\hat{� � �} = 60^{\circ} = \hat{� � �}\).

Vậy \(� � � �\) là hình thang cân.

c) \(\Delta � � �\) có \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\) nên là tam giác cân.

Xét \(\Delta � � �\) và \(\Delta � � �\) có:

     \(� � = � �\) (giả thiết)

     \(\hat{�_{1}} = \hat{�_{2}}\) (đối đỉnh)

     \(\hat{�_{1}} = \hat{�}\) (so le trong)

Vậy \(\Delta � � � = \Delta � � �\) (g.c.g) suy ra \(� � = � �\) (hai cạnh tương ứng).

Khi đó \(� �\) là đường trung tuyến và \(� � = � �\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(� � = � �\) suy ra \(� � = � �\) hay \(� �\) là đường trung tuyến.

Khi đó, \(\Delta � � �\) có ba đường trung tuyến \(� � , � � , � �\) đồng quy.

a) Ta có \(\hat{�_{1}} + \hat{�_{3}} = 90^{\circ}\) và \(\hat{�_{2}} + \hat{�_{3}} = 90^{\circ}\) suy ra \(\hat{�_{1}} = \hat{�_{2}}\).

Mặt khác \(\hat{�_{1}} = \hat{�_{1}} = 45^{\circ}\).

Xét \(\Delta � � �\) và \(\Delta � � �\) có

    \(� � = � �\) ( giả thiết)

    \(\hat{�_{1}} = \hat{�_{1}} = 4 5^{\circ}\)

    \(\hat{�_{1}} = \hat{�_{2}}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\Delta � � � = \Delta � � �\) (g.c.g)

b) Từ \(\Delta � � � = \Delta � � �\) suy ra \(� � = � �\) (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự cho \(\Delta � � � = \Delta � � �\) và \(\Delta � � � = \Delta � � �\)

Suy ra \(� � = � �\) và \(� � = � �\).

Khi đó \(� � = � � = � � = � � .\)

c) Tứ giác \(� � � �\) là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

Mà \(\Delta � � �\) có \(� � = � �\) và \(\hat{� � �} = 90^{\circ}\) nên \(\Delta � � �\) là tam giác vuông cân tại \(�\)

Suy ra \(\hat{�_{1}} = 45^{\circ}\).

Tương tự \(\hat{�_{2}} = 45^{\circ}\) nên \(\hat{� � �} = \hat{�_{1}} + \hat{�_{2}} = 90^{\circ}\).

Hình thoi \(� � � �\) có \(\hat{� � �} = 90^{\circ}\) nên nó là hình vuông.