Xác định các kích thước của khung ảnh.Phần trong của khung ảnh là hình chữ nhật có kích thước $17cm \times 25cm$Độ rộng của viền xung quanh là $l$ (cm).Kích thước của khung ảnh bên ngoài sẽ là $(17 + 2l) \times (25 + 2l)$ cm.

Tính diện tích của khung ảnh.Diện tích của khung ảnh được tính bằng công thức:$S_{khung} = (17 + 2l)(25 + 2l)$.

Thiết lập phương trình dựa trên thông tin đề bài.Đề bài cho biết diện tích lớn nhất của khung ảnh là $513 cm^2$Do đó, ta có phương trình:$(17 + 2l)(25 + 2l) = 513$.

Giải phương trình để tìm giá trị của $l$Mở rộng phương trình:$17 \times 25 + 17 \times 2l + 2l \times 25 + 2l \times 2l = 513$$425 + 34l + 50l + 4l^2 = 513$$4l^2 + 84l + 425 - 513 = 0$$4l^2 + 84l - 88 = 0$Chia cả hai vế cho 4 để đơn giản hóa phương trình:$l^2 + 21l - 22 = 0$Giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm.Phân tích thành nhân tử:$(l + 22)(l - 1) = 0$Các nghiệm của phương trình là $l = -22$ hoặc $l = 1$.

a. Cos của góc giữa hai VTPT.

Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến.Sử dụng công thức: $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (3)(5) + (4)(-12) = 15 - 48 = -33$$|\vec{n_1}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$|\vec{n_2}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$\cos \theta = \frac{|-33|}{5 \cdot 13} = \frac{33}{65}$

b.

Viết phương trình đường thẳng vuông góc với △.Đường thẳng △ có hệ số góc $m_\triangle = -1$Đường thẳng cần tìm vuông góc với △ nên có hệ số góc $m = -\frac{1}{m_\triangle} = -\frac{1}{-1} = 1$Phương trình đường thẳng có dạng $y = x + c$, hay $x - y + c = 0$ .

Áp dụng điều kiện tiếp xúc để tìm c.Khoảng cách từ tâm $I(1, 2)$ đến đường thẳng $x - y + c = 0$ là:$d(I, \text{đường thẳng}) = \frac{|1 - 2 + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|c - 1|}{\sqrt{2}}$Để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ta có:$\frac{|c - 1|}{\sqrt{2}} = R = \sqrt{5}$$|c - 1| = \sqrt{10}$Suy ra $c - 1 = \sqrt{10}$ hoặc $c - 1 = -\sqrt{10}$Do đó, $c = 1 + \sqrt{10}$ hoặc $c = 1 - \sqrt{10}$.

Viết phương trình các đường thẳng tiếp xúc.Với $c = 1 + \sqrt{10}$, phương trình đường thẳng là $y = x + 1 + \sqrt{10}$Với $c = 1 - \sqrt{10}$, phương trình đường thẳng là $y = x + 1 - \sqrt{10}$.

a. Cos của góc giữa hai VTPT.

Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến.Sử dụng công thức: $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (3)(5) + (4)(-12) = 15 - 48 = -33$$|\vec{n_1}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$|\vec{n_2}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$\cos \theta = \frac{|-33|}{5 \cdot 13} = \frac{33}{65}$

b.

Viết phương trình đường thẳng vuông góc với △.Đường thẳng △ có hệ số góc $m_\triangle = -1$Đường thẳng cần tìm vuông góc với △ nên có hệ số góc $m = -\frac{1}{m_\triangle} = -\frac{1}{-1} = 1$Phương trình đường thẳng có dạng $y = x + c$, hay $x - y + c = 0$ .

Áp dụng điều kiện tiếp xúc để tìm c.Khoảng cách từ tâm $I(1, 2)$ đến đường thẳng $x - y + c = 0$ là:$d(I, \text{đường thẳng}) = \frac{|1 - 2 + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|c - 1|}{\sqrt{2}}$Để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ta có:$\frac{|c - 1|}{\sqrt{2}} = R = \sqrt{5}$$|c - 1| = \sqrt{10}$Suy ra $c - 1 = \sqrt{10}$ hoặc $c - 1 = -\sqrt{10}$Do đó, $c = 1 + \sqrt{10}$ hoặc $c = 1 - \sqrt{10}$.

Viết phương trình các đường thẳng tiếp xúc.Với $c = 1 + \sqrt{10}$, phương trình đường thẳng là $y = x + 1 + \sqrt{10}$Với $c = 1 - \sqrt{10}$, phương trình đường thẳng là $y = x + 1 - \sqrt{10}$.

a. f (x) = x2 + (m-1) x+m +5 với mọi xeR.

m2 -6m - 19 < 0

Vì parabol ý=m2 - 6m -9 có bề lõm hướng lên, nên biểu thức này âm khi m nằm giữa nghiệm.

3-2√7< m < 3+2√7.