Gọi các điểm như trong hình vẽ:

𝐻 là chân ngọn Hải đăng.

𝐶 là đỉnh ngọn Hải đăng ( HC=1km𝐻𝐶=1km).

𝐴 là vị trí nguồn điện ( HA=5km𝐻𝐴=5km).

B là một điểm nằm giữa  𝐻 và  A

Gọi khoảng cách từ chân Hải đăng  𝐻 đến điểm B𝐵là  x𝑥 (km), với  0≤x≤50≤𝑥≤5. Đoạn đường 𝐴𝐵: Vì  𝐵 nằm trên đoạn  𝐻𝐴 nên 𝐴𝐵=𝐻𝐴−𝐻𝐵=5−𝑥 (km).

Đoạn đường  𝐵𝐶: Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông  𝐻𝐵𝐶 tại  𝐻:
𝐵𝐶=𝐻𝐵2+𝐻𝐶2√=𝑥2+12√=𝑥2+1√(km)

Theo đề bài, chi phí kéo dây từ  𝐴 đến  B𝐵 là  2 tỷ/km và từ  𝐵 đến  C𝐶 là  3 tỷ/km. Tổng chi phí là  13tỷ đồng:
2⋅𝐴𝐵+3⋅𝐵𝐶=13 2(5−𝑥)+3𝑥2+1√=13

10−2𝑥+3𝑥2+1√=13

3𝑥2+1√=2𝑥+3

Bình phương hai vế (điều kiện  2𝑥+3≥0, luôn đúng vì  𝑥≥0):
9(𝑥2+1)=(2𝑥+3)2 9𝑥2+9=4𝑥2+12𝑥+9

5𝑥2−12𝑥=0

𝑥(5𝑥−12)=0 Ta tìm được hai giá trị của  x𝑥:

1. Trường hợp 1:  x=0
2. Trường hợp 2:  𝑥=125=2,4

5. Kết luận tổng chiều dài dây điện Tổng chiều dài dây điện được tính bằng  𝐿=𝐴𝐵+𝐵𝐶.

Với  𝑥=0:

𝐴𝐵=5−0=5km

𝐵𝐶=02+1√=1km

Tổng chiều dài:  5+1=𝟔km.

Với  x=2,4
𝐴𝐵=5−2,4=2,6km 𝐵𝐶=2,4^2+1√=6,76√=2,6km

Tổng chiều dài:  2,6+2,6=5,2km.

Tùy vào đáp án trắc nghiệm (nếu có), bạn có thể chọn kết quả phù hợp. Thông thường trong các bài toán thực tế này, giá trị  5,2km thường được ưu tiên vì điểm  𝐵 không trùng với các điểm mút.

Câu a: Tính  cosα

1. Tìm vectơ pháp tuyến:
2. Vectơ pháp tuyến của  Δ là  n⃗Δ=(3;-4).
3. Vectơ pháp tuyến của  Δ1 là  n⃗Δ1=(12;-5).
4. Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng:
   cos𝛼=|𝑛⃗Δ⋅𝑛⃗Δ1|
   |𝑛⃗Δ|⋅|𝑛⃗Δ1|
   =|3⋅12+(−4)⋅(−5)|
   3^2+(−4)2√⋅12^2+(−5)2√
   cosα=|36+20|
   5⋅13. =56/65
   Kết luận:  cosα=56/65 
5. Xác định các yếu tố của đường tròn (C):
6. 1. Tâm  I(-3;2).
   2. Bán kính  R=36=6.
7. Thiết lập phương trình đường thẳng d𝑑:
   Vì  d∥Δ𝑑∥Δ, phương trình đường thẳng d𝑑 có dạng:  3x−4y+c=0 (với  c≠7
8. Điều kiện tiếp xúc:
   Đường thẳng  d tiếp xúc với  (C)khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm  I𝐼đến d bằng bán kính 
   𝑑(𝐼,𝑑)
   =𝑅⟺|3(−3)−4(2)+𝑐|/
   3^2+(−4)^2√. =6
   |−9−8+𝑐| / 5=6

Giải tìm c:
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện  c≠7.Trường hợp 1:  c−17=30⟹c=47

Trường hợp 2:  c−17=-30⟹c=-13

 Kết luận: Có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu là:d1∶3x−4y+47=0 d2∶3x−4y−13=0

a)  -2x2+18x+20≥0−2𝑥2+18𝑥+20≥0 Xét -2x2+18x+20=0⇔[x=-1

x=10

Vì hệ số  a=-2<0 nên tập nghiệm của bất phương trình là:

𝑆=[−1;10]

b)  2x2−8x+4=x−22𝑥2−8𝑥+4√=𝑥−2 Điều kiện: x−2≥0⇔x≥2𝑥−2≥0⇔𝑥≥2 Phương trình tương đương:
⇔2x2 - 8x + 4 = x2 - 4x + 4 ⇔x=0 x=4

Vậy nghiệm của phương trình là  x=4

𝐻 là chân ngọn Hải đăng.

𝐶 là đỉnh ngọn Hải đăng ( HC=1km𝐻𝐶=1km).

𝐴 là vị trí nguồn điện ( HA=5km𝐻𝐴=5km).

B là một điểm nằm giữa  𝐻 và  A

Đoạn đường  𝐵𝐶: Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông  𝐻𝐵𝐶 tại  𝐻:
𝐵𝐶=𝐻𝐵2+𝐻𝐶2√=𝑥2+12√=𝑥2+1√(km)

10−2𝑥+3𝑥2+1√=13

3𝑥2+1√=2𝑥+3

5𝑥2−12𝑥=0

1. Trường hợp 1:  x=0
2. Trường hợp 2:  𝑥=125=2,4

Với  𝑥=0:

𝐴𝐵=5−0=5km

𝐵𝐶=02+1√=1km

Tổng chiều dài:  5+1=𝟔km.

• Với  x=2,4

  𝐴𝐵=5−2,4=2,6km 𝐵𝐶=2,4^2+1√=6,76√=2,6km

• Tổng chiều dài:  2,6+2,6=5,2km.

1. Tìm vectơ pháp tuyến:
2. Vectơ pháp tuyến của  Δ là  n⃗Δ=(3;-4).
3. Vectơ pháp tuyến của  Δ1 là  n⃗Δ1=(12;-5).
4. Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng:
   cos𝛼=|𝑛⃗Δ⋅𝑛⃗Δ1|

   |𝑛⃗Δ|⋅|𝑛⃗Δ1|

   =|3⋅12+(−4)⋅(−5)|

   3^2+(−4)2√⋅12^2+(−5)2√

   cosα=|36+20|

   5⋅13. =56/65

   Kết luận:  cosα=56/65

   
   

   1. Xác định các yếu tố của đường tròn (C):
   2. • Tâm  I(-3;2).
      • Bán kính  R=36=6.
   3. Thiết lập phương trình đường thẳng  d𝑑:
      Vì  d∥Δ𝑑∥Δ, phương trình đường thẳng  d𝑑 có dạng:  3x−4y+c=0 (với  c≠7
   4. Điều kiện tiếp xúc:
      Đường thẳng  d tiếp xúc với  (C)khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm  I𝐼đến  d bằng bán kính 

      𝑑(𝐼,𝑑)

      =𝑅⟺|3(−3)−4(2)+𝑐|/

      3^2+(−4)^2√. =6

      |−9−8+𝑐| / 5=6

   ⟺|𝑐−17|=30

x=10

𝑆=[−1;10]

Vậy nghiệm của phương trình là  x=4