Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oth, quỹ đạo của quả bóng là một cung Parabol được xác định bởi hàm số bậc hai:  \(h = a t^{2} + b t + c ; \left(\right. a \neq 0 \left.\right)\)  

Từ giả thiết ta có:

\(\left{\right. \&\text{nbsp}; & h \left(\right. 0 \left.\right) = 1 \\ \&\text{nbsp}; & h \left(\right. 1 \left.\right) = 8 , 5 \\ \&\text{nbsp}; & h \left(\right. 2 \left.\right) = 6\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. \&\text{nbsp}; & c = 1 \\ \&\text{nbsp}; & a + b + c = 8 , 5 \\ \&\text{nbsp}; & 4 a + 2 b + c = 6\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. \&\text{nbsp}; & a = - 5 \\ \&\text{nbsp}; & b = 12 , 5 \\ \&\text{nbsp}; & c = 1\)

Từ đó suy ra \(h = - 5 t^{2} + 12 , 5 t + 1\)

Parabol có tọa độ đỉnh là  \(I \left(\right. 1 , 25 ; 8 , 8125 \left.\right)\)

Độ cao cao nhất của quả bóng đạt được tại đỉnh của cung Parabol.

Vậy \(M a x h = 8 , 8125\)

Vì đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(I \left(\right. 7 ; 2 \left.\right)\) và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng \(\Delta\) có phương trình là \(3 x + 4 y - 9 = 0\) nên bán kính của đường tròn là \(R = d \left(\right. I , \Delta \left.\right) = \frac{\mid 3.7 + 4.2 - 9 \mid}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 4\). 

Vậy phương trình đường tròn là: \(\left(\left(\right. x - 7 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. y - 2 \left.\right)\right)^{2} = 16\).

Xét \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} - 2 x - 1\)

Có \(a = 1 > 0 ; \Delta^{'} = 2 > 0\)

Suy ra \(f \left(\right. x \left.\right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = 1 - \sqrt{2} ;\) \(x_{2} = 1 + \sqrt{2}\).

\(f \left(\right. x \left.\right) < 0\)

\(\Leftrightarrow x \in \left(\right. 1 - \sqrt{2} ; 1 + \sqrt{2} \left.\right)\) 

Vậy tập nghiệm là : \(S = \left(\right. 1 - \sqrt{2} ; 1 + \sqrt{2} \left.\right)\).