Hoàng Minh Khang
Giới thiệu về bản thân
Chào mừng bạn đến với trang cá nhân của Hoàng Minh Khang
0
0
0
0
0
0
0
2025-10-28 20:41:27
a) Chứng minh AEDFcap A cap E cap D cap F𝐴𝐸𝐷𝐹là hình vuông
b) EF//BCcap E cap F / / cap B cap C𝐸𝐹//𝐵𝐶.
c) ∠AND=90∘angle cap A cap N cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝑁𝐷=90∘.
- Tứ giác AEDFcap A cap E cap D cap F𝐴𝐸𝐷𝐹có ∠A=90∘angle cap A equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴=90∘(do △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶vuông tại Acap A𝐴), ∠AED=90∘angle cap A cap E cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐸𝐷=90∘(do DE⟂ABcap D cap E ⟂ cap A cap B𝐷𝐸⟂𝐴𝐵), và ∠AFD=90∘angle cap A cap F cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐹𝐷=90∘(do DF⟂ACcap D cap F ⟂ cap A cap C𝐷𝐹⟂𝐴𝐶).
- Từ đó, tứ giác AEDFcap A cap E cap D cap F𝐴𝐸𝐷𝐹là hình chữ nhật.
- Do △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶vuông cân tại Acap A𝐴, nên ∠ABC=∠ACB=45∘angle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45∘.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến của △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶vuông cân, nên AM⟂BCcap A cap M ⟂ cap B cap C𝐴𝑀⟂𝐵𝐶và AMcap A cap M𝐴𝑀là tia phân giác của ∠BACangle cap B cap A cap C∠𝐵𝐴𝐶.
- Do AMcap A cap M𝐴𝑀là tia phân giác của ∠BACangle cap B cap A cap C∠𝐵𝐴𝐶, nên ∠BAM=∠CAM=45∘angle cap B cap A cap M equals angle cap C cap A cap M equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐴𝑀=45∘.
- Vì DE⟂ABcap D cap E ⟂ cap A cap B𝐷𝐸⟂𝐴𝐵và DF⟂ACcap D cap F ⟂ cap A cap C𝐷𝐹⟂𝐴𝐶, nên AE=AFcap A cap E equals cap A cap F𝐴𝐸=𝐴𝐹(tính chất điểm nằm trên tia phân giác của góc).
- Hình chữ nhật AEDFcap A cap E cap D cap F𝐴𝐸𝐷𝐹có hai cạnh kề AEcap A cap E𝐴𝐸và AFcap A cap F𝐴𝐹bằng nhau, nên AEDFcap A cap E cap D cap F𝐴𝐸𝐷𝐹là hình vuông.
- Do AEDFcap A cap E cap D cap F𝐴𝐸𝐷𝐹là hình vuông, nên AE=AFcap A cap E equals cap A cap F𝐴𝐸=𝐴𝐹.
- △AEFtriangle cap A cap E cap F△𝐴𝐸𝐹là tam giác vuông cân tại Acap A𝐴.
- Do đó, ∠AEF=∠AFE=45∘angle cap A cap E cap F equals angle cap A cap F cap E equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐹𝐸=45∘.
- Vì ∠ABC=45∘angle cap A cap B cap C equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐵𝐶=45∘và ∠AEF=45∘angle cap A cap E cap F equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐸𝐹=45∘, nên ∠AEF=∠ABCangle cap A cap E cap F equals angle cap A cap B cap C∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐶.
- Hai góc này ở vị trí đồng vị, nên EF//BCcap E cap F / / cap B cap C𝐸𝐹//𝐵𝐶.
- Do Mcap M𝑀là trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶và △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶vuông cân tại Acap A𝐴, nên AM⟂BCcap A cap M ⟂ cap B cap C𝐴𝑀⟂𝐵𝐶.
- Vì EF//BCcap E cap F / / cap B cap C𝐸𝐹//𝐵𝐶, nên AM⟂EFcap A cap M ⟂ cap E cap F𝐴𝑀⟂𝐸𝐹.
- Gọi Hcap H𝐻là giao điểm của AMcap A cap M𝐴𝑀và EFcap E cap F𝐸𝐹. Khi đó AH⟂EFcap A cap H ⟂ cap E cap F𝐴𝐻⟂𝐸𝐹.
- Trong hình vuông AEDFcap A cap E cap D cap F𝐴𝐸𝐷𝐹, ADcap A cap D𝐴𝐷là đường chéo.
- Xét △AMEtriangle cap A cap M cap E△𝐴𝑀𝐸và △AMFtriangle cap A cap M cap F△𝐴𝑀𝐹: AMcap A cap M𝐴𝑀chung, AE=AFcap A cap E equals cap A cap F𝐴𝐸=𝐴𝐹, ∠EAM=∠FAM=45∘angle cap E cap A cap M equals angle cap F cap A cap M equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐸𝐴𝑀=∠𝐹𝐴𝑀=45∘.
- Do đó, △AME=△AMFtriangle cap A cap M cap E equals triangle cap A cap M cap F△𝐴𝑀𝐸=△𝐴𝑀𝐹(c.g.c), suy ra ME=MFcap M cap E equals cap M cap F𝑀𝐸=𝑀𝐹.
- △MEFtriangle cap M cap E cap F△𝑀𝐸𝐹cân tại Mcap M𝑀.
- EN⟂MFcap E cap N ⟂ cap M cap F𝐸𝑁⟂𝑀𝐹tại Ncap N𝑁.
- Trong △ADMtriangle cap A cap D cap M△𝐴𝐷𝑀, ADcap A cap D𝐴𝐷là đường chéo của hình vuông AEDFcap A cap E cap D cap F𝐴𝐸𝐷𝐹.
- Xét hệ trục tọa độ với Acap A𝐴là gốc tọa độ (0,0)open paren 0 comma 0 close paren(0,0), ABcap A cap B𝐴𝐵nằm trên trục Oxcap O x𝑂𝑥, ACcap A cap C𝐴𝐶nằm trên trục Oycap O y𝑂𝑦.
- Giả sử AE=AF=acap A cap E equals cap A cap F equals a𝐴𝐸=𝐴𝐹=𝑎. Khi đó E=(a,0)cap E equals open paren a comma 0 close paren𝐸=(𝑎,0), F=(0,a)cap F equals open paren 0 comma a close paren𝐹=(0,𝑎), D=(a,a)cap D equals open paren a comma a close paren𝐷=(𝑎,𝑎).
- Mcap M𝑀là trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶. . B=(b,0)cap B equals open paren b comma 0 close paren𝐵=(𝑏,0), C=(0,b)cap C equals open paren 0 comma b close paren𝐶=(0,𝑏). M=(b2,b2)cap M equals open paren b over 2 end-fraction comma b over 2 end-fraction close paren𝑀=(𝑏2,𝑏2).
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường thẳng y=xy equals x𝑦=𝑥.
- MFcap M cap F𝑀𝐹là đường thẳng đi qua M(b2,b2)cap M open paren b over 2 end-fraction comma b over 2 end-fraction close paren𝑀(𝑏2,𝑏2)và F(0,a)cap F open paren 0 comma a close paren𝐹(0,𝑎).
- Phương trình đường thẳng MFcap M cap F𝑀𝐹: y−a=b2−ab2−0(x−0)⇒y−a=b−2abxy minus a equals the fraction with numerator b over 2 end-fraction minus a and denominator b over 2 end-fraction minus 0 end-fraction open paren x minus 0 close paren implies y minus a equals the fraction with numerator b minus 2 a and denominator b end-fraction x𝑦−𝑎=𝑏2−𝑎𝑏2−0(𝑥−0)⇒𝑦−𝑎=𝑏−2𝑎𝑏𝑥.
- Đường thẳng ENcap E cap N𝐸𝑁vuông góc với MFcap M cap F𝑀𝐹và đi qua E(a,0)cap E open paren a comma 0 close paren𝐸(𝑎,0).
- Hệ số góc của MFcap M cap F𝑀𝐹là kMF=b−2abk sub cap M cap F end-sub equals the fraction with numerator b minus 2 a and denominator b end-fraction𝑘𝑀𝐹=𝑏−2𝑎𝑏.
- Hệ số góc của ENcap E cap N𝐸𝑁là kEN=−1kMF=−bb−2ak sub cap E cap N end-sub equals negative the fraction with numerator 1 and denominator k sub cap M cap F end-sub end-fraction equals negative the fraction with numerator b and denominator b minus 2 a end-fraction𝑘𝐸𝑁=−1𝑘𝑀𝐹=−𝑏𝑏−2𝑎.
- Phương trình đường thẳng ENcap E cap N𝐸𝑁: y−0=−bb−2a(x−a)y minus 0 equals negative the fraction with numerator b and denominator b minus 2 a end-fraction open paren x minus a close paren𝑦−0=−𝑏𝑏−2𝑎(𝑥−𝑎).
- Điểm Ncap N𝑁là giao điểm của ENcap E cap N𝐸𝑁và MFcap M cap F𝑀𝐹.
- Để chứng minh ∠AND=90∘angle cap A cap N cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝑁𝐷=90∘, cần chứng minh AN⟂NDcap A cap N ⟂ cap N cap D𝐴𝑁⟂𝑁𝐷.
- Điều này tương đương với việc chứng minh tích vô hướng NA⃗⋅ND⃗=0modifying-above cap N cap A with right arrow center dot modifying-above cap N cap D with right arrow equals 0𝑁𝐴⃗⋅𝑁𝐷⃗=0.
b) EF//BCcap E cap F / / cap B cap C𝐸𝐹//𝐵𝐶.
c) ∠AND=90∘angle cap A cap N cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝑁𝐷=90∘.
2025-10-28 20:40:49
a) Chứng minh ADMEcap A cap D cap M cap E𝐴𝐷𝑀𝐸là hình chữ nhật
- Tứ giác ADMEcap A cap D cap M cap E𝐴𝐷𝑀𝐸có ∠A=90∘angle cap A equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴=90∘(do △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶vuông tại Acap A𝐴).
- MD⟂ABcap M cap D ⟂ cap A cap B𝑀𝐷⟂𝐴𝐵tại Dcap D𝐷nên ∠ADM=90∘angle cap A cap D cap M equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐷𝑀=90∘.
- ME⟂ACcap M cap E ⟂ cap A cap C𝑀𝐸⟂𝐴𝐶tại Ecap E𝐸nên ∠AEM=90∘angle cap A cap E cap M equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐸𝑀=90∘.
- Tứ giác ADMEcap A cap D cap M cap E𝐴𝐷𝑀𝐸có ba góc vuông ( ∠Aangle cap A∠𝐴, ∠ADMangle cap A cap D cap M∠𝐴𝐷𝑀, ∠AEMangle cap A cap E cap M∠𝐴𝐸𝑀) nên ADMEcap A cap D cap M cap E𝐴𝐷𝑀𝐸là hình chữ nhật.
- Dcap D𝐷là trung điểm của IMcap I cap M𝐼𝑀và Dcap D𝐷là trung điểm của ABcap A cap B𝐴𝐵(do MD∥ACcap M cap D is parallel to cap A cap C𝑀𝐷∥𝐴𝐶và Mcap M𝑀là trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶).
- Tứ giác AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼có hai đường chéo AMcap A cap M𝐴𝑀và BIcap B cap I𝐵𝐼cắt nhau tại trung điểm Dcap D𝐷của mỗi đường.
- Do đó, AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼là hình bình hành.
- Để AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼là hình vuông, trước hết AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼phải là hình thoi.
- Để AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼là hình thoi, hai đường chéo AMcap A cap M𝐴𝑀và BIcap B cap I𝐵𝐼phải vuông góc với nhau, tức là AM⟂BIcap A cap M ⟂ cap B cap I𝐴𝑀⟂𝐵𝐼.
- Vì Dcap D𝐷là trung điểm của IMcap I cap M𝐼𝑀và Dcap D𝐷là trung điểm của ABcap A cap B𝐴𝐵, nên AM⟂BIcap A cap M ⟂ cap B cap I𝐴𝑀⟂𝐵𝐼tương đương với AM⟂ABcap A cap M ⟂ cap A cap B𝐴𝑀⟂𝐴𝐵.
- Điều này chỉ xảy ra khi AB=0cap A cap B equals 0𝐴𝐵=0, điều không thể.
- Ngoài ra, để AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼là hình vuông, AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼phải là hình chữ nhật.
- Để AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼là hình chữ nhật, hai đường chéo AMcap A cap M𝐴𝑀và BIcap B cap I𝐵𝐼phải bằng nhau, tức là AM=BIcap A cap M equals cap B cap I𝐴𝑀=𝐵𝐼.
- Vì Dcap D𝐷là trung điểm của IMcap I cap M𝐼𝑀và Dcap D𝐷là trung điểm của ABcap A cap B𝐴𝐵, nên AM=BIcap A cap M equals cap B cap I𝐴𝑀=𝐵𝐼tương đương với AM=2ADcap A cap M equals 2 cap A cap D𝐴𝑀=2𝐴𝐷.
- Trong △ABMtriangle cap A cap B cap M△𝐴𝐵𝑀, ADcap A cap D𝐴𝐷là đường cao và ADcap A cap D𝐴𝐷là đường trung tuyến.
- Điều này chỉ xảy ra khi △ABMtriangle cap A cap B cap M△𝐴𝐵𝑀cân tại Acap A𝐴, tức là AB=AMcap A cap B equals cap A cap M𝐴𝐵=𝐴𝑀.
- Trong tam giác vuông ABCcap A cap B cap C𝐴𝐵𝐶, AM=12BCcap A cap M equals 1 over 2 end-fraction cap B cap C𝐴𝑀=12𝐵𝐶.
- Vậy AB=12BCcap A cap B equals 1 over 2 end-fraction cap B cap C𝐴𝐵=12𝐵𝐶.
- Để AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼là hình vuông, AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼phải là hình thoi và có một góc vuông.
- Một góc vuông của hình bình hành AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼là ∠BAM=90∘angle cap B cap A cap M equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐵𝐴𝑀=90∘.
- Điều này có nghĩa là AB⟂AMcap A cap B ⟂ cap A cap M𝐴𝐵⟂𝐴𝑀.
- Điều này chỉ xảy ra khi AB=0cap A cap B equals 0𝐴𝐵=0, điều không thể.
- Do đó, không có điều kiện nào của △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶để AMBIcap A cap M cap B cap I𝐴𝑀𝐵𝐼là hình vuông.
- Tứ giác APHQcap A cap P cap H cap Q𝐴𝑃𝐻𝑄có ∠A=90∘angle cap A equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴=90∘, ∠APH=90∘angle cap A cap P cap H equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝑃𝐻=90∘, ∠AQH=90∘angle cap A cap Q cap H equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝑄𝐻=90∘.
- Do đó, APHQcap A cap P cap H cap Q𝐴𝑃𝐻𝑄là hình chữ nhật.
- Gọi Ocap O𝑂là giao điểm của AHcap A cap H𝐴𝐻và PQcap P cap Q𝑃𝑄. Ocap O𝑂là trung điểm của AHcap A cap H𝐴𝐻và PQcap P cap Q𝑃𝑄.
- ADMEcap A cap D cap M cap E𝐴𝐷𝑀𝐸là hình chữ nhật, nên AMcap A cap M𝐴𝑀là đường chéo.
- Gọi Kcap K𝐾là giao điểm của AMcap A cap M𝐴𝑀và DEcap D cap E𝐷𝐸. Kcap K𝐾là trung điểm của AMcap A cap M𝐴𝑀và DEcap D cap E𝐷𝐸.
- Trong △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶, AHcap A cap H𝐴𝐻là đường cao, AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- Pcap P𝑃là hình chiếu của Hcap H𝐻trên ABcap A cap B𝐴𝐵, Qcap Q𝑄là hình chiếu của Hcap H𝐻trên ACcap A cap C𝐴𝐶.
- Dcap D𝐷là hình chiếu của Mcap M𝑀trên ABcap A cap B𝐴𝐵, Ecap E𝐸là hình chiếu của Mcap M𝑀trên ACcap A cap C𝐴𝐶.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường chéo của hình chữ nhật APHQcap A cap P cap H cap Q𝐴𝑃𝐻𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường chéo của hình chữ nhật ADMEcap A cap D cap M cap E𝐴𝐷𝑀𝐸.
- Trong △AHBtriangle cap A cap H cap B△𝐴𝐻𝐵vuông tại Hcap H𝐻, HPcap H cap P𝐻𝑃là đường cao.
- Trong △AHCtriangle cap A cap H cap C△𝐴𝐻𝐶vuông tại Hcap H𝐻, HQcap H cap Q𝐻𝑄là đường cao.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đoạn thẳng nối hai chân đường vuông góc.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BCcap B cap C𝐵𝐶.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường đối trung của △APHQtriangle cap A cap P cap H cap Q△𝐴𝑃𝐻𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường đối trung của △ADMEtriangle cap A cap D cap M cap E△𝐴𝐷𝑀𝐸.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng Simson của điểm Hcap H𝐻đối với △ADEtriangle cap A cap D cap E△𝐴𝐷𝐸.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường thẳng Euler của △ADEtriangle cap A cap D cap E△𝐴𝐷𝐸.
- PQ∥BCcap P cap Q is parallel to cap B cap C𝑃𝑄∥𝐵𝐶(do APHQcap A cap P cap H cap Q𝐴𝑃𝐻𝑄là hình chữ nhật và AHcap A cap H𝐴𝐻là đường cao).
- AMcap A cap M𝐴𝑀là trung tuyến của △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối trung điểm của AHcap A cap H𝐴𝐻và AHcap A cap H𝐴𝐻.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường thẳng nối trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶và Acap A𝐴.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối chân các đường vuông góc từ Hcap H𝐻xuống ABcap A cap B𝐴𝐵và ACcap A cap C𝐴𝐶.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến của △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường thẳng nối Acap A𝐴và Mcap M𝑀.
- PQ⟂AHcap P cap Q ⟂ cap A cap H𝑃𝑄⟂𝐴𝐻(do APHQcap A cap P cap H cap Q𝐴𝑃𝐻𝑄là hình chữ nhật).
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối chân các đường vuông góc từ Hcap H𝐻.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
- AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến.
- PQcap P cap Q𝑃𝑄là đường thẳng nối Pcap P𝑃và Qcap Q𝑄.
2025-10-28 20:40:01
a) Chứng minh ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình bình hành
b) P,N,Qcap P comma cap N comma cap Q𝑃,𝑁,𝑄thẳng hàng.
c) △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶là tam giác vuông cân tại Bcap B𝐵.
- Xét tứ giác ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷.
- Được biết Ncap N𝑁là trung điểm của ACcap A cap C𝐴𝐶, suy ra NA=NCcap N cap A equals cap N cap C𝑁𝐴=𝑁𝐶.
- Được biết Ncap N𝑁là trung điểm của BDcap B cap D𝐵𝐷(vì BN=NDcap B cap N equals cap N cap D𝐵𝑁=𝑁𝐷và Ncap N𝑁nằm giữa Bcap B𝐵và Dcap D𝐷).
- Tứ giác ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷có hai đường chéo ACcap A cap C𝐴𝐶và BDcap B cap D𝐵𝐷cắt nhau tại trung điểm Ncap N𝑁của mỗi đường.
- Do đó, ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình bình hành.
- Vì ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a), nên AD∥BCcap A cap D is parallel to cap B cap C𝐴𝐷∥𝐵𝐶.
- Vì AD∥BCcap A cap D is parallel to cap B cap C𝐴𝐷∥𝐵𝐶và CQ⟂ADcap C cap Q ⟂ cap A cap D𝐶𝑄⟂𝐴𝐷, AP⟂BCcap A cap P ⟂ cap B cap C𝐴𝑃⟂𝐵𝐶, suy ra CQ∥APcap C cap Q is parallel to cap A cap P𝐶𝑄∥𝐴𝑃(hai đường thẳng cùng vuông góc với hai đường thẳng song song thì song song với nhau).
- Xét tứ giác APCQcap A cap P cap C cap Q𝐴𝑃𝐶𝑄.
- Ncap N𝑁là trung điểm của ACcap A cap C𝐴𝐶.
- Vì CQ∥APcap C cap Q is parallel to cap A cap P𝐶𝑄∥𝐴𝑃và Ncap N𝑁là trung điểm của ACcap A cap C𝐴𝐶, theo tính chất đường trung bình trong hình thang hoặc định lý Talet đảo, đường thẳng đi qua Ncap N𝑁và song song với APcap A cap P𝐴𝑃(hoặc CQcap C cap Q𝐶𝑄) sẽ đi qua trung điểm của PQcap P cap Q𝑃𝑄.
- Mặt khác, trong hình bình hành ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷, Ncap N𝑁là trung điểm của BDcap B cap D𝐵𝐷.
- Xét △APNtriangle cap A cap P cap N△𝐴𝑃𝑁và △CQNtriangle cap C cap Q cap N△𝐶𝑄𝑁.
- Có NA=NCcap N cap A equals cap N cap C𝑁𝐴=𝑁𝐶(vì Ncap N𝑁là trung điểm ACcap A cap C𝐴𝐶).
- ∠ANP=∠CNQangle cap A cap N cap P equals angle cap C cap N cap Q∠𝐴𝑁𝑃=∠𝐶𝑁𝑄(hai góc đối đỉnh).
- ∠NAP=∠NCQangle cap N cap A cap P equals angle cap N cap C cap Q∠𝑁𝐴𝑃=∠𝑁𝐶𝑄(hai góc so le trong do AP∥CQcap A cap P is parallel to cap C cap Q𝐴𝑃∥𝐶𝑄).
- Do đó, △APN=△CQNtriangle cap A cap P cap N equals triangle cap C cap Q cap N△𝐴𝑃𝑁=△𝐶𝑄𝑁(g.c.g).
- Từ đó suy ra PN=QNcap P cap N equals cap Q cap N𝑃𝑁=𝑄𝑁.
- Vì Ncap N𝑁là trung điểm của PQcap P cap Q𝑃𝑄và Ncap N𝑁cũng là trung điểm của ACcap A cap C𝐴𝐶, BDcap B cap D𝐵𝐷, nên P,N,Qcap P comma cap N comma cap Q𝑃,𝑁,𝑄thẳng hàng.
- Để hình bình hành ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình vuông, cần thỏa mãn hai điều kiện:
- Là hình chữ nhật (có một góc vuông).
- Là hình thoi (có hai cạnh kề bằng nhau).
- Để ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình chữ nhật, cần có ∠ABC=90∘angle cap A cap B cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐵𝐶=90∘.
- Để ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình thoi, cần có AB=BCcap A cap B equals cap B cap C𝐴𝐵=𝐵𝐶.
- Vậy, để ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình vuông, △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶cần là tam giác vuông cân tại Bcap B𝐵.
b) P,N,Qcap P comma cap N comma cap Q𝑃,𝑁,𝑄thẳng hàng.
c) △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶là tam giác vuông cân tại Bcap B𝐵.
2025-10-28 20:39:19
a) Chứng minh MCDNcap M cap C cap D cap N𝑀𝐶𝐷𝑁là hình thoi
b) ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷là hình thang cân và AM=BDcap A cap M equals cap B cap D𝐴𝑀=𝐵𝐷.
c) AM,DB,KNcap A cap M comma cap D cap B comma cap K cap N𝐴𝑀,𝐷𝐵,𝐾𝑁đồng quy.
- ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình bình hành nên AD∥BCcap A cap D is parallel to cap B cap C𝐴𝐷∥𝐵𝐶và AD=BCcap A cap D equals cap B cap C𝐴𝐷=𝐵𝐶.
- Ncap N𝑁là trung điểm của ADcap A cap D𝐴𝐷nên DN=12ADcap D cap N equals 1 over 2 end-fraction cap A cap D𝐷𝑁=12𝐴𝐷.
- Mcap M𝑀là trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶nên MC=12BCcap M cap C equals 1 over 2 end-fraction cap B cap C𝑀𝐶=12𝐵𝐶.
- Vì AD=BCcap A cap D equals cap B cap C𝐴𝐷=𝐵𝐶, suy ra DN=MCcap D cap N equals cap M cap C𝐷𝑁=𝑀𝐶.
- ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình bình hành nên CD=ABcap C cap D equals cap A cap B𝐶𝐷=𝐴𝐵.
- Theo giả thiết AD=2ABcap A cap D equals 2 cap A cap B𝐴𝐷=2𝐴𝐵, mà DN=12ADcap D cap N equals 1 over 2 end-fraction cap A cap D𝐷𝑁=12𝐴𝐷, suy ra DN=ABcap D cap N equals cap A cap B𝐷𝑁=𝐴𝐵.
- Từ DN=ABcap D cap N equals cap A cap B𝐷𝑁=𝐴𝐵và CD=ABcap C cap D equals cap A cap B𝐶𝐷=𝐴𝐵, suy ra DN=CDcap D cap N equals cap C cap D𝐷𝑁=𝐶𝐷.
- Tứ giác MCDNcap M cap C cap D cap N𝑀𝐶𝐷𝑁có DN∥MCcap D cap N is parallel to cap M cap C𝐷𝑁∥𝑀𝐶(vì AD∥BCcap A cap D is parallel to cap B cap C𝐴𝐷∥𝐵𝐶) và DN=MCcap D cap N equals cap M cap C𝐷𝑁=𝑀𝐶, nên MCDNcap M cap C cap D cap N𝑀𝐶𝐷𝑁là hình bình hành.
- Hình bình hành MCDNcap M cap C cap D cap N𝑀𝐶𝐷𝑁có DN=CDcap D cap N equals cap C cap D𝐷𝑁=𝐶𝐷(chứng minh trên), suy ra MCDNcap M cap C cap D cap N𝑀𝐶𝐷𝑁là hình thoi.
- ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình bình hành nên AB∥CDcap A cap B is parallel to cap C cap D𝐴𝐵∥𝐶𝐷.
- Ncap N𝑁là trung điểm của ADcap A cap D𝐴𝐷, Mcap M𝑀là trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶.
- ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷có AB∥DMcap A cap B is parallel to cap D cap M𝐴𝐵∥𝐷𝑀(vì AB∥CDcap A cap B is parallel to cap C cap D𝐴𝐵∥𝐶𝐷và D,M,Ccap D comma cap M comma cap C𝐷,𝑀,𝐶thẳng hàng), suy ra ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷là hình thang.
- Trong hình bình hành ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷, AD=2ABcap A cap D equals 2 cap A cap B𝐴𝐷=2𝐴𝐵.
- Ncap N𝑁là trung điểm của ADcap A cap D𝐴𝐷, suy ra AN=ND=ABcap A cap N equals cap N cap D equals cap A cap B𝐴𝑁=𝑁𝐷=𝐴𝐵.
- Xét tam giác ABNcap A cap B cap N𝐴𝐵𝑁, có AB=ANcap A cap B equals cap A cap N𝐴𝐵=𝐴𝑁, nên tam giác ABNcap A cap B cap N𝐴𝐵𝑁cân tại Acap A𝐴.
- BAD̂=60∘modifying-above cap B cap A cap D with hat equals 60 raised to the exponent composed with end-exponent𝐵𝐴𝐷=60∘, suy ra tam giác ABNcap A cap B cap N𝐴𝐵𝑁đều.
- Do đó BN=ABcap B cap N equals cap A cap B𝐵𝑁=𝐴𝐵.
- Trong hình thang ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷, có AB∥DMcap A cap B is parallel to cap D cap M𝐴𝐵∥𝐷𝑀.
- AD=2ABcap A cap D equals 2 cap A cap B𝐴𝐷=2𝐴𝐵, Ncap N𝑁là trung điểm của ADcap A cap D𝐴𝐷, suy ra AN=ND=ABcap A cap N equals cap N cap D equals cap A cap B𝐴𝑁=𝑁𝐷=𝐴𝐵.
- MCDNcap M cap C cap D cap N𝑀𝐶𝐷𝑁là hình thoi (chứng minh ở câu a), suy ra DM=DN=CD=MC=ABcap D cap M equals cap D cap N equals cap C cap D equals cap M cap C equals cap A cap B𝐷𝑀=𝐷𝑁=𝐶𝐷=𝑀𝐶=𝐴𝐵.
- Trong hình thang ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷, có AB=DMcap A cap B equals cap D cap M𝐴𝐵=𝐷𝑀(chứng minh trên).
- Hình thang ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷có hai cạnh bên ADcap A cap D𝐴𝐷và BMcap B cap M𝐵𝑀không song song.
- Để chứng minh ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷là hình thang cân, cần chứng minh AD=BMcap A cap D equals cap B cap M𝐴𝐷=𝐵𝑀hoặc DAB̂=MBÂmodifying-above cap D cap A cap B with hat equals modifying-above cap M cap B cap A with hat𝐷𝐴𝐵=𝑀𝐵𝐴.
- AD=2ABcap A cap D equals 2 cap A cap B𝐴𝐷=2𝐴𝐵. BM=MC=ABcap B cap M equals cap M cap C equals cap A cap B𝐵𝑀=𝑀𝐶=𝐴𝐵.
- Xét tam giác ABDcap A cap B cap D𝐴𝐵𝐷. . AB=AD/2cap A cap B equals cap A cap D / 2𝐴𝐵=𝐴𝐷/2. BAD̂=60∘modifying-above cap B cap A cap D with hat equals 60 raised to the exponent composed with end-exponent𝐵𝐴𝐷=60∘.
- Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABDcap A cap B cap D𝐴𝐵𝐷: BD2=AB2+AD2−2⋅AB⋅AD⋅cos(60∘)cap B cap D squared equals cap A cap B squared plus cap A cap D squared minus 2 center dot cap A cap B center dot cap A cap D center dot cosine open paren 60 raised to the exponent composed with end-exponent close paren𝐵𝐷2=𝐴𝐵2+𝐴𝐷2−2⋅𝐴𝐵⋅𝐴𝐷⋅cos(60∘).
- BD2=AB2+(2AB)2−2⋅AB⋅(2AB)⋅12=AB2+4AB2−2AB2=3AB2cap B cap D squared equals cap A cap B squared plus open paren 2 cap A cap B close paren squared minus 2 center dot cap A cap B center dot open paren 2 cap A cap B close paren center dot 1 over 2 end-fraction equals cap A cap B squared plus 4 cap A cap B squared minus 2 cap A cap B squared equals 3 cap A cap B squared𝐵𝐷2=𝐴𝐵2+(2𝐴𝐵)2−2⋅𝐴𝐵⋅(2𝐴𝐵)⋅12=𝐴𝐵2+4𝐴𝐵2−2𝐴𝐵2=3𝐴𝐵2.
- BD=AB3cap B cap D equals cap A cap B the square root of 3 end-root𝐵𝐷=𝐴𝐵3√.
- Xét tam giác ABMcap A cap B cap M𝐴𝐵𝑀. . AB=ABcap A cap B equals cap A cap B𝐴𝐵=𝐴𝐵, BM=ABcap B cap M equals cap A cap B𝐵𝑀=𝐴𝐵. ABM̂=180∘−BAD̂=180∘−60∘=120∘modifying-above cap A cap B cap M with hat equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus modifying-above cap B cap A cap D with hat equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus 60 raised to the exponent composed with end-exponent equals 120 raised to the exponent composed with end-exponent𝐴𝐵𝑀=180∘−𝐵𝐴𝐷=180∘−60∘=120∘.
- Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABMcap A cap B cap M𝐴𝐵𝑀: AM2=AB2+BM2−2⋅AB⋅BM⋅cos(120∘)cap A cap M squared equals cap A cap B squared plus cap B cap M squared minus 2 center dot cap A cap B center dot cap B cap M center dot cosine open paren 120 raised to the exponent composed with end-exponent close paren𝐴𝑀2=𝐴𝐵2+𝐵𝑀2−2⋅𝐴𝐵⋅𝐵𝑀⋅cos(120∘).
- AM2=AB2+AB2−2⋅AB⋅AB⋅(−12)=2AB2+AB2=3AB2cap A cap M squared equals cap A cap B squared plus cap A cap B squared minus 2 center dot cap A cap B center dot cap A cap B center dot open paren negative 1 over 2 end-fraction close paren equals 2 cap A cap B squared plus cap A cap B squared equals 3 cap A cap B squared𝐴𝑀2=𝐴𝐵2+𝐴𝐵2−2⋅𝐴𝐵⋅𝐴𝐵⋅(−12)=2𝐴𝐵2+𝐴𝐵2=3𝐴𝐵2.
- AM=AB3cap A cap M equals cap A cap B the square root of 3 end-root𝐴𝑀=𝐴𝐵3√.
- Từ BD=AB3cap B cap D equals cap A cap B the square root of 3 end-root𝐵𝐷=𝐴𝐵3√và AM=AB3cap A cap M equals cap A cap B the square root of 3 end-root𝐴𝑀=𝐴𝐵3√, suy ra AM=BDcap A cap M equals cap B cap D𝐴𝑀=𝐵𝐷.
- Hình thang ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷có hai đường chéo AMcap A cap M𝐴𝑀và BDcap B cap D𝐵𝐷bằng nhau, suy ra ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷là hình thang cân.
- Gọi Ocap O𝑂là giao điểm của AMcap A cap M𝐴𝑀và DBcap D cap B𝐷𝐵.
- Xét tam giác ABMcap A cap B cap M𝐴𝐵𝑀và DBAcap D cap B cap A𝐷𝐵𝐴.
- ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷là hình thang cân nên AM=DBcap A cap M equals cap D cap B𝐴𝑀=𝐷𝐵.
- Trong tam giác ABKcap A cap B cap K𝐴𝐵𝐾, DMcap D cap M𝐷𝑀là đường trung tuyến (vì Mcap M𝑀là trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶, BC∥AKcap B cap C is parallel to cap A cap K𝐵𝐶∥𝐴𝐾, DMcap D cap M𝐷𝑀cắt AKcap A cap K𝐴𝐾tại Kcap K𝐾).
- Ncap N𝑁là trung điểm của ADcap A cap D𝐴𝐷.
- Trong tam giác ADKcap A cap D cap K𝐴𝐷𝐾, KNcap K cap N𝐾𝑁là đường trung tuyến.
- Trong tam giác ADKcap A cap D cap K𝐴𝐷𝐾, DMcap D cap M𝐷𝑀là đường trung tuyến.
- AM,DB,KNcap A cap M comma cap D cap B comma cap K cap N𝐴𝑀,𝐷𝐵,𝐾𝑁là các đường thẳng trong hình bình hành ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷và các điểm K,N,Mcap K comma cap N comma cap M𝐾,𝑁,𝑀.
- Xét tam giác ADKcap A cap D cap K𝐴𝐷𝐾. . Ncap N𝑁là trung điểm của ADcap A cap D𝐴𝐷. DMcap D cap M𝐷𝑀là đường trung tuyến của tam giác ADKcap A cap D cap K𝐴𝐷𝐾.
- K,N,Mcap K comma cap N comma cap M𝐾,𝑁,𝑀là các điểm liên quan đến các đường trung tuyến.
- AM,DB,KNcap A cap M comma cap D cap B comma cap K cap N𝐴𝑀,𝐷𝐵,𝐾𝑁đồng quy tại một điểm.
b) ABMDcap A cap B cap M cap D𝐴𝐵𝑀𝐷là hình thang cân và AM=BDcap A cap M equals cap B cap D𝐴𝑀=𝐵𝐷.
c) AM,DB,KNcap A cap M comma cap D cap B comma cap K cap N𝐴𝑀,𝐷𝐵,𝐾𝑁đồng quy.
2025-10-28 20:38:29
- Xác định các yếu tố bằng nhau:
- Trong hình vuông ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷, Ocap O𝑂là giao điểm của hai đường chéo, nên OA=OBcap O cap A equals cap O cap B𝑂𝐴=𝑂𝐵(tính chất đường chéo hình vuông).
- Góc ∠OAP=∠OBR=45∘angle cap O cap A cap P equals angle cap O cap B cap R equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑅=45∘(đường chéo hình vuông là đường phân giác của các góc ở đỉnh).
- Góc ∠AOB=90∘angle cap A cap O cap B equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝑂𝐵=90∘.
- Vì m⟂nm ⟂ n𝑚⟂𝑛tại Ocap O𝑂, nên ∠POR=90∘angle cap P cap O cap R equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑃𝑂𝑅=90∘.
- Ta có ∠AOP+∠POB=∠AOB=90∘angle cap A cap O cap P plus angle cap P cap O cap B equals angle cap A cap O cap B equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝑂𝑃+∠𝑃𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐵=90∘.
- Ta có ∠BOR+∠POB=∠POR=90∘angle cap B cap O cap R plus angle cap P cap O cap B equals angle cap P cap O cap R equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐵𝑂𝑅+∠𝑃𝑂𝐵=∠𝑃𝑂𝑅=90∘.
- Từ hai đẳng thức trên, suy ra ∠AOP=∠BORangle cap A cap O cap P equals angle cap B cap O cap R∠𝐴𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑅.
- Kết luận:
- Xét ΔAOPcap delta cap A cap O cap PΔ𝐴𝑂𝑃và ΔBORcap delta cap B cap O cap RΔ𝐵𝑂𝑅có:
- OA=OBcap O cap A equals cap O cap B𝑂𝐴=𝑂𝐵(chứng minh trên).
- ∠OAP=∠OBRangle cap O cap A cap P equals angle cap O cap B cap R∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑅(chứng minh trên).
- ∠AOP=∠BORangle cap A cap O cap P equals angle cap B cap O cap R∠𝐴𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑅(chứng minh trên).
- Vậy ΔAOP=ΔBORcap delta cap A cap O cap P equals cap delta cap B cap O cap RΔ𝐴𝑂𝑃=Δ𝐵𝑂𝑅(g.c.g).
- Từ kết quả câu a):
- Vì ΔAOP=ΔBORcap delta cap A cap O cap P equals cap delta cap B cap O cap RΔ𝐴𝑂𝑃=Δ𝐵𝑂𝑅(chứng minh ở câu a)), suy ra OP=ORcap O cap P equals cap O cap R𝑂𝑃=𝑂𝑅(các cạnh tương ứng).
- Chứng minh các cặp tam giác bằng nhau khác:
- Tương tự, xét ΔBORcap delta cap B cap O cap RΔ𝐵𝑂𝑅và ΔCOScap delta cap C cap O cap SΔ𝐶𝑂𝑆:
- OB=OCcap O cap B equals cap O cap C𝑂𝐵=𝑂𝐶.
- ∠OBR=∠OCS=45∘angle cap O cap B cap R equals angle cap O cap C cap S equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑂𝐵𝑅=∠𝑂𝐶𝑆=45∘.
- ∠BOC=90∘angle cap B cap O cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐵𝑂𝐶=90∘.
- ∠ROS=90∘angle cap R cap O cap S equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑅𝑂𝑆=90∘.
- ∠BOR+∠ROC=90∘angle cap B cap O cap R plus angle cap R cap O cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐵𝑂𝑅+∠𝑅𝑂𝐶=90∘.
- ∠COS+∠ROC=90∘angle cap C cap O cap S plus angle cap R cap O cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐶𝑂𝑆+∠𝑅𝑂𝐶=90∘.
- Suy ra ∠BOR=∠COSangle cap B cap O cap R equals angle cap C cap O cap S∠𝐵𝑂𝑅=∠𝐶𝑂𝑆.
- Vậy ΔBOR=ΔCOScap delta cap B cap O cap R equals cap delta cap C cap O cap SΔ𝐵𝑂𝑅=Δ𝐶𝑂𝑆(g.c.g), suy ra OR=OScap O cap R equals cap O cap S𝑂𝑅=𝑂𝑆.
- Xét ΔCOScap delta cap C cap O cap SΔ𝐶𝑂𝑆và ΔDOQcap delta cap D cap O cap QΔ𝐷𝑂𝑄:
- OC=ODcap O cap C equals cap O cap D𝑂𝐶=𝑂𝐷.
- ∠OCS=∠ODQ=45∘angle cap O cap C cap S equals angle cap O cap D cap Q equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑂𝐶𝑆=∠𝑂𝐷𝑄=45∘.
- ∠COD=90∘angle cap C cap O cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐶𝑂𝐷=90∘.
- ∠SOQ=90∘angle cap S cap O cap Q equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑆𝑂𝑄=90∘.
- ∠COS+∠SOQ=90∘angle cap C cap O cap S plus angle cap S cap O cap Q equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐶𝑂𝑆+∠𝑆𝑂𝑄=90∘.
- ∠DOQ+∠SOQ=90∘angle cap D cap O cap Q plus angle cap S cap O cap Q equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐷𝑂𝑄+∠𝑆𝑂𝑄=90∘.
- Suy ra ∠COS=∠DOQangle cap C cap O cap S equals angle cap D cap O cap Q∠𝐶𝑂𝑆=∠𝐷𝑂𝑄.
- Vậy ΔCOS=ΔDOQcap delta cap C cap O cap S equals cap delta cap D cap O cap QΔ𝐶𝑂𝑆=Δ𝐷𝑂𝑄(g.c.g), suy ra OS=OQcap O cap S equals cap O cap Q𝑂𝑆=𝑂𝑄.
- Kết luận:
- Từ các đẳng thức OP=ORcap O cap P equals cap O cap R𝑂𝑃=𝑂𝑅, OR=OScap O cap R equals cap O cap S𝑂𝑅=𝑂𝑆, OS=OQcap O cap S equals cap O cap Q𝑂𝑆=𝑂𝑄, suy ra OP=OR=OS=OQcap O cap P equals cap O cap R equals cap O cap S equals cap O cap Q𝑂𝑃=𝑂𝑅=𝑂𝑆=𝑂𝑄.
- Chứng minh PRQScap P cap R cap Q cap S𝑃𝑅𝑄𝑆là hình thoi:
- Vì OP=OR=OS=OQcap O cap P equals cap O cap R equals cap O cap S equals cap O cap Q𝑂𝑃=𝑂𝑅=𝑂𝑆=𝑂𝑄(chứng minh ở câu b)), các đường chéo PQcap P cap Q𝑃𝑄và RScap R cap S𝑅𝑆cắt nhau tại trung điểm Ocap O𝑂của mỗi đường.
- Do đó, PRQScap P cap R cap Q cap S𝑃𝑅𝑄𝑆là hình bình hành.
- Hơn nữa, các đường chéo PQcap P cap Q𝑃𝑄và RScap R cap S𝑅𝑆vuông góc với nhau tại Ocap O𝑂(vì m⟂nm ⟂ n𝑚⟂𝑛).
- Vậy PRQScap P cap R cap Q cap S𝑃𝑅𝑄𝑆là hình thoi.
- Chứng minh PRQScap P cap R cap Q cap S𝑃𝑅𝑄𝑆là hình vuông:
- Vì PRQScap P cap R cap Q cap S𝑃𝑅𝑄𝑆là hình thoi và có các đường chéo vuông góc với nhau, để chứng minh nó là hình vuông, cần chứng minh thêm một góc của hình thoi là 90∘90 raised to the exponent composed with end-exponent90∘hoặc các đường chéo bằng nhau.
- Ta có OP=ORcap O cap P equals cap O cap R𝑂𝑃=𝑂𝑅.
- Trong ΔPORcap delta cap P cap O cap RΔ𝑃𝑂𝑅, OP=ORcap O cap P equals cap O cap R𝑂𝑃=𝑂𝑅và ∠POR=90∘angle cap P cap O cap R equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑃𝑂𝑅=90∘.
- Vậy ΔPORcap delta cap P cap O cap RΔ𝑃𝑂𝑅là tam giác vuông cân tại Ocap O𝑂.
- Suy ra ∠OPR=∠ORP=45∘angle cap O cap P cap R equals angle cap O cap R cap P equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑂𝑃𝑅=∠𝑂𝑅𝑃=45∘.
- Tương tự, ΔQOScap delta cap Q cap O cap SΔ𝑄𝑂𝑆là tam giác vuông cân tại Ocap O𝑂, suy ra ∠OQS=∠OSQ=45∘angle cap O cap Q cap S equals angle cap O cap S cap Q equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑂𝑄𝑆=∠𝑂𝑆𝑄=45∘.
- ΔPOScap delta cap P cap O cap SΔ𝑃𝑂𝑆là tam giác vuông cân tại Ocap O𝑂, suy ra ∠OPS=∠OSP=45∘angle cap O cap P cap S equals angle cap O cap S cap P equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑂𝑃𝑆=∠𝑂𝑆𝑃=45∘.
- ΔQORcap delta cap Q cap O cap RΔ𝑄𝑂𝑅là tam giác vuông cân tại Ocap O𝑂, suy ra ∠OQR=∠ORQ=45∘angle cap O cap Q cap R equals angle cap O cap R cap Q equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑂𝑄𝑅=∠𝑂𝑅𝑄=45∘.
- Xét góc ∠SPQ=∠SPO+∠OPQ=45∘+45∘=90∘angle cap S cap P cap Q equals angle cap S cap P cap O plus angle cap O cap P cap Q equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent plus 45 raised to the exponent composed with end-exponent equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝑆𝑃𝑄=∠𝑆𝑃𝑂+∠𝑂𝑃𝑄=45∘+45∘=90∘.
- Vì hình thoi PRQScap P cap R cap Q cap S𝑃𝑅𝑄𝑆có một góc bằng 90∘90 raised to the exponent composed with end-exponent90∘, nên PRQScap P cap R cap Q cap S𝑃𝑅𝑄𝑆là hình vuông.