a) Do AB,AC là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) nên ˆABO=ˆACO=90 độ ⇒B,C thuộc đường tròn đường kính  OA có tâm I là trung điểm OA.  

b) Ta có AM.AO=AB/2.2AI=AB.AI.                                                                                     

c) Gọi E là trung điểm MA, do G là trọng tâm ΔCMA nên G∈CE và GECE=1/3

Mặt khác MEBE=1/3  (vì ME=MA/2=MB/2nên ME=BE/3) ⇒GE/CE=ME/BE, theo định lý Ta-lét đảo ⇒MG//BC.

d) Gọi G′ là giao điểm của OA và CM⇒G′là trọng tâm ΔABC. Nên G′MCM=1/3=GECE′, theo định lý Ta-lét đảo GG′//ME  (1)

MI là đường trung bình trong ΔOAB⇒MI//OB, mà AB⊥OB  (cmt) ⇒MI⊥AB, nghĩa là MI⊥ME   (2).

Từ (1) và (2) cho MI⊥GG′, ta lại có GI′⊥MK (vì OA⊥MK) nên I là trực tâm ΔMGG′⇒GI⊥G′M tức GI⊥CM.

a) Chứng minh ˆABC=ˆCHM.

Vì AM,CN là các đường cao của ΔABCnên {AM⊥BCCN⊥AB⇒ˆBMH=ˆBNH=90∘.

Xét tứ giác BNHM có ˆBMH+ˆBNH=90∘+90∘=180∘.

⇒BNHM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800).

Tứ giác BNHM nội tiếp nên: ˆMBN+ˆNHM=180∘ hay ˆCBA+ˆNHM=180∘

mà ˆMBN+ˆNHM=180∘ (hai góc kề bù)

do đó ˆCBA=ˆMBN

b) Chứng minh ˆADC=ˆAHC.

Tứ giác BNHM nội tiếp nên: ˆMBN+ˆNHM=180∘

màˆAHC=ˆNHM (đối đỉnh)

nên ˆMBN+ˆAHC=180∘

hay ˆABC+ˆAHC=180∘

Mặc khác tứ giác BNHM nội tiếp đường tròn tâm (O) nên ˆADC+ˆABC=180 độ

Do đó ˆADC=ˆAHC

c) Chứng minh ˆMAC=ˆMNC.

Ta chứng minh ACMN là tứ giác nội tiếp.

Gọi  E là trung điểmAC.

Xét tam giác AMC có ˆAMC=900 và MElà đường trung tuyến nên EM=EC=EA=1/2AC (1)

Xét tam giác ANC có ˆANC=90 độ và NElà đường trung tuyến nên EN=EC=EA=1/2AC (2)

Từ (1)và (2) suy ra EM=EN=EC=EA

Vậy tứ giác ACMN nội tiếp được đường tròn có tâm E là trung điểmAC.

Suy ra ˆMAC=ˆMNC (góc nội tiếp cùng chắn cung MC của đường tròn tâm E)

d) Chứng minh ˆMAC+90 độ=ˆANM.

Ta có ˆMAC+ˆACM=90 độ (hai góc phụ nhau)

Hay ˆACM=90 độ −ˆMAC

Mà ˆACM+ˆANM=1800 ( tứ giác ACMN nội tiếp được đường tròn, câu c))

Nên 90 độ −ˆMAC+ˆANM=180 độ

Suy ra ˆMAC+90 độ =ˆANM

a: Xét (I) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>CF\(\bot\)AB tại F

Xét (I) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\bot\)AC tại E

Xét ΔABC có

CF,BE là các đường cao

CF cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\bot\)BC tại D

Xét tứ giác BFHD có \(\hat{B F H} + \hat{B D H} = 9 0^{0} + 9 0^{0} = 18 0^{0}\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác ABDE có \(\hat{A E B} = \hat{A D B} = 9 0^{0}\)

nên ABDE là tứ giác nội tiếp

Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên BD 

⊥ AC và CE ⊥ AB.

Suy ra ˆAEH=ˆADH=90∘.

Xét ∆AEH vuông tại E nên H, E, A thuộc đường tròn đường kính AH (1)

Xét ∆ADH vuông tại D nên D, A, H thuộc đường tròn đường kính AH (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra ADHE là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCDE. Gọi O là trung điểm của BC.

Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên DB ⊥ AC và CE ⊥ AB.

Suy ra ˆBDC=ˆBEC=90∘.

Xét tam giác BDC, có ˆBDC=90∘ và DO là trung tuyến nên OD = OC = OB = 1/2BC.

Xét tam giác BEC có ˆBEC=90∘ và EO là trung tuyến nên OE = OC = OB = 1/2BC.

Từ đấy suy ra OE = OC = OB = OD.

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm BC.