Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D\) // \(B C\) và \(A D = B C\).

Do \(A D\) // \(B C\) nên \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\) (so le trong)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     \(\hat{A H D} \&\text{nbsp}; = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

     \(\hat{A D H} \&\text{nbsp}; = \hat{C B K}\) (do \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\)).

Do đó \(\Delta \&\text{nbsp}; A D H = \Delta \&\text{nbsp}; C B K\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(A H \bot \&\text{nbsp}; D B\) và \(C K \bot \&\text{nbsp}; D B\) nên \(A H\) // \(C K\).

Tứ giác \(A H C K\) có \(A H\) // \(C K\) và \(A H = C K\) nên \(A H C K\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do \(A H C K\) là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) (giả thiết) nên \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\).

ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\) (giả thiết) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta A B C\).

Suy ra \(G M = \frac{G B}{2}\); \(G N = \frac{G C}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà \(P\) là trung điểm của \(G B\) (giả thiết) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(Q\) là trung điểm của \(G C\) (giả thiết) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(G M = G P\) và \(G N = G Q\).

Xét tứ giác \(P Q M N\) có: \(G M = G P\) và \(G N = G Q\) (chứng minh trên)

Do đó tứ giác \(P Q M N\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường nên là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) nên \(O A = O C\), \(O B = O D\).

+ \(A B\) // \(C D\) nên \(A M\) // \(C N\) suy ra \(\hat{O A M} = \hat{O C N}\) (hai góc so le trong).

Xét \(\Delta O A M\) và \(\Delta \&\text{nbsp}; O C N\) có:

        $\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)

        \(O A = O C\) (chứng minh trên)

        \(\hat{A O M} \&\text{nbsp}; =\)\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh)

Do đó \(\Delta \&\text{nbsp}; O A M = \Delta \&\text{nbsp}; O C N\) (g.c.g).

Suy ra \(A M = C N\) (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, \(A B = C D\) (chứng minh trên);

\(A B = A M + B M\); \(C D = C N + D N\).

Suy ra \(B M = D N\).

Xét tứ giác \(M B N D\) có:

        \(B M\) // \(D N\) (vì \(A B\) // \(C D\))

        \(B M = D N\) (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = \(\frac{1}{2}\)AB, CF = DF = \(\frac{1}{2}\)CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

Đọc tản văn Người ngồi đợi trước hiên nhà của Huỳnh Như Phương, tôi mãi ấn tượng về nhân vật dì Bảy, người dì đại diện cho số phận biết bao người phụ nữ nơi hậu phương mòn mỏi chờ chồng, dành cả cuộc đời để hi sinh thầm lặng cho gia đình, cho quê hương, Tổ quốc.

Dì Bảy là một nhân vật đã để lại trong tôi nhiều sự thương mến và cảm phục. Dì lấy chồng khi mới 20 tuổi. Dượng Bảy lại phải đi tập kết và chiến đấu. Vậy là từ ngày cưới, cả hai vợ chồng dì chưa được ở cạnh nhau bao lâu. Họ gặp nhau chỉ qua những cánh thư. 20 năm sau, Dượng Bảy mới có thể nhờ người gửi chiếc nón bài thơ cho dì làm quà và để chứng tỏ tình cảm của mình, để an ủi những ngày chờ mong dài đằng đẵng. Thế nhưng, trước khi chiến tranh kết thúc khoảng mươi ngày, dượng Bảy đã mãi mãi ra đi nơi chiến trường, dì Bảy đã trở thành người phụ nữ góa chồng. Vậy là suốt hơn 20 năm chờ đợi, biết bao thương nhớ, biết bao buồn tủi, biết bao là những nỗi lo lắng, bồn chồn, cuối cùng dì vẫn không đợi được một hạnh phúc trọn vẹn.

Mất chồng, dì Bảy vẫn cứ lầm lũi ngồi bên bậc thềm, nhìn ra xa như trông đợi điều gì. Dì Bảy đã phải hi sinh hạnh phúc cá nhân mình vì nghĩa lớn. Tôi biết, không chỉ có dì Bảy, mà còn có rất nhiều người phụ nữ trên dải đất hình chữ S này cũng chung cảnh ngộ như dì. Họ đều đã hi sinh thầm lặng, cao cả cho cuộc kháng chiến, để đất nước được thống nhất và phát triển. Chúng ta, những thế hệ hôm nay phải biết ơn và làm được điều gì để đền đáp được công ơn đó.

Dì Bảy đã cho tôi hiểu về đức hi sinh của con người. Tôi tin rằng lớp người trẻ chúng tôi tôi và những thế hệ mai sau sẽ đều ghi nhớ công ơn của các thế hệ trước. Mong rằng chiến tranh sẽ không bao giờ lặp lại, sẽ không còn ai phải chịu cảnh ngộ, phải hi sinh như dì Bảy.