Ta có: BD // EF (vì AB /// EF)

=> Góc BDF = góc DFE (2 góc so le trong)

Vì DE // BC (gt)

nên góc EDF = góc BFD (2 góc so le trong)

Xét tam giác EDF và tam giác BDF có:

Góc BDF = góc DFE (chứng minh trên)

DF là cạnh chung

Góc EDF = góc BFD (chứng minh trên)

=> Tam giác DEF = tam giác FBD (g.c.g)

=> BD = EF ( 2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

Mà BD = AD (vì D là trung điểm của AB)

=> AD = EF   (đpcm)

b) Ta có: AB // EF (gt)

=> Góc A = góc CEF (2 góc đồng vị)

Lại có: tam giác DEF = tam giác FBD (chứng minh trên)

=> Góc DEF = góc B (2 góc tương ứng)  (1)

Mà DE // BC (gt)

=> Góc DEF = góc CFE (2 góc so le trong)  (2)

     Góc ADE = góc B (2 góc đồng vị)

Từ (1), (2) => Góc B = góc CFE

Mà góc B = góc ADE (chứng minh trên)

=> Góc ADE = góc CFE 

Xét tam giác ADE và tam giác CEF có:

Góc CEF = góc A (chứng minh trên)

AD = EF (chứng minh trên)

Góc ADE = góc CFE (chứng minh trên)

=> Tam giác ADE = tam gilác EFC (g.c.g)   (đpcm)

c) Ta có: tam giác ADE = tam giác EFC (chứng minh trên)

=> AE = CE (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)  

 \(A C\) và \(A D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(A C ⊥ A D\).

\(B C\) và \(B D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(B C ⊥ B D\).

b) Vì \(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{y A B} = \hat{A B m}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{3}} = \hat{B_{2}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{y A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B m}\)).

Suy ra: \(A D / / B C\).

\(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{x A B} = \hat{A B n}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{3}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B n}\)).

Suy ra: \(A C / / B D\).

c) \(A D\) // \(B D\) (theo chứng minh b), \(B D ⊥ B C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A D ⊥ B D\) (\(B D\) vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\).

Tương tự: \(A D\) // \(B C\) (theo chứng minh b); \(A D ⊥ A C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A C ⊥ B C\) (như trên).

Suy ra: \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\)

 \(A C\) và \(A D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(A C ⊥ A D\).

\(B C\) và \(B D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(B C ⊥ B D\).

b) Vì \(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{y A B} = \hat{A B m}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{3}} = \hat{B_{2}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{y A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B m}\)).

Suy ra: \(A D / / B C\).

\(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{x A B} = \hat{A B n}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{3}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B n}\)).

Suy ra: \(A C / / B D\).

c) \(A D\) // \(B D\) (theo chứng minh b), \(B D ⊥ B C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A D ⊥ B D\) (\(B D\) vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\).

Tương tự: \(A D\) // \(B C\) (theo chứng minh b); \(A D ⊥ A C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A C ⊥ B C\) (như trên).

Suy ra: \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\)

a, Ta có:  xy//x'y' nên xAB ^ = ABy' (hai góc so le trong).

AA' là tia phân giác của xAB nên A₁ = A₂ = 1/2 xAB 

BB' là tia phân giác của ABy'  nên B₁ = B₂ = 1/2 ABy'

Từ trên ta có A₂ = B₁

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên

=> AA' // BB/ (có 2 góc so le trong bằng nhau)

b, xy//x'y' nên A₁ = AA'B (2 góc so le trong)

AA'//BB' nên A₁ = AB'B(2 góc đồng vị)

Vậy AA'B = AB'B