Vì \(A E\) là phân giác của góc \(\hat{B A C}\) nên:

\(\hat{B A E} = \hat{E A C} . \left(\right. 1 \left.\right)\)

Mặt khác, \(E F \parallel A B\)
⇒ \(\hat{A E F} = \hat{E A B} = \hat{B A E}\) (so le trong).

\(\Rightarrow \hat{A E F} = \hat{B A E} . \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\hat{B A E} = \hat{E A C} = \hat{A E F} . \left(\right. 3 \left.\right)\)

Lại có \(F I \parallel A E\)
⇒ \(\hat{E F I} = \hat{E A E^{'}} = \hat{B A E}\) (so le trong).

\(\Rightarrow \hat{E F I} = \hat{B A E} . \left(\right. 4 \left.\right)\)

Từ \(F I \parallel A E\) và \(E F \parallel A B\) suy ra:

\(\hat{I F C}=\hat{E A C}(\text{so le trong}).\left(\right.5\left.\right)\)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) ta có:

\(\boxed{\hat{B A E} = \hat{E A C} = \hat{A E F} = \hat{E F I} = \hat{I F C} .}\)

Theo phần (1) ta có:

\(\hat{E F I} = \hat{I F C} .\)

Hai góc này là hai phần của góc \(\hat{E F C}\), có chung đỉnh \(F\) và cạnh chung \(F I\).

\(FIlàtiaphângiácEFC\)

Vì \(x y \parallel m n\) nên:

\(\hat{x A B} = \hat{A B m}\)

gọi góc này là \(\alpha\).

Khi đó:

• Tia phân giác của \(\hat{x A B}\) tạo với \(A B\) góc \(\frac{\alpha}{2}\).
• Tia phân giác của \(\hat{B A y}\) tạo với \(A B\) góc \(- \frac{\alpha}{2}\).

Hai tia phân giác này đối xứng nhau qua đường thẳng \(A B\), nên góc giữa chúng bằng:

\(\hat{C A D} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha\)

Mặt khác, vì \(x y \parallel m n\) nên góc kề bù với \(\alpha\) cũng bằng \(180^{\circ} - \alpha\).
Do đó, tổng hai góc tại \(A\) là \(\alpha + \left(\right. 180^{\circ} - \alpha \left.\right) = 180^{\circ}\).

Suy ra, hai tia phân giác tại \(A\) vuông góc nhau:

\(A C \bot A D\)

Lập luận tương tự tại điểm \(B\), ta có:

\(B D \bot B C\)

Vì \(x y \parallel m n\) nên:

\(\hat{x A B} = \hat{A B m} = \alpha\)

→ Hai tia phân giác tương ứng tại \(A\) và \(B\) tạo với đường thẳng \(A B\) các góc bằng nhau \(\frac{\alpha}{2}\).
Do đó, các tia phân giác cùng hướng, song song từng cặp:

\(A D \parallel B C , A C \parallel B D\)

Từ (a) và (b) ta có:

• \(A D \parallel B C\)
• \(A C \parallel B D\)
• \(A C \bot A D\)

⇒ Tứ giác \(A B C D\) có các cạnh đối song song và một góc vuông.
Suy ra \(A B C D\) là hình chữ nhật.

Trong hình chữ nhật, các góc đều vuông:

\(\hat{A C B} = \hat{B D A} = 90^{\circ}\) \(\)

với\(B D \bot B C\)

với\(B D \bot B C\)