a) Do ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow A D = B C\) và \(A D\) // \(B C\)

Do \(A D\) // \(B C\) (cmt)

\(\Rightarrow \hat{A D H} = \hat{C B K}\) (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (cmt)

\(\Rightarrow \Delta A D H = \Delta C B K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Do \(A H \bot B D\) (gt)

\(C K \bot B D\) (gt)

\(\Rightarrow A H\) // \(C K\)

Xét tứ giác AHCK có:

\(A H\) // \(C K\) (cmt)

\(A H = C K\) (cmt)

\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

\(I\) là trung điểm của HK (gt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

\(I\) là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD

\(\Rightarrow I B = I D\)

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G(gt) nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM=GB/2; GN=GC/2 (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (gt) nên GP=PB=GB/2(2)

Q là trung điểm của GC (gt) nên GQ=QC=GC/2(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM=BP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có: GM=GP và GN=GQ (cmt)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

a)Vì ABCD là hình bình hành

=>AB=DC; AB//DC

vì B,C lần lượt là trung điểm của AE,DF

=>AE=DC; AB=EB=CD=CF

xét tứ giác AEFD có

AE=DC(cmt)

AE//DC

=>tứ giác AEFD là hình bình hành

xét tứ giác ABFC có

AB=CF(cmt)

AB//CF

=>tứ giác ABFC là hình bình hành

b)Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường

=>trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

a)Vì ABCD là hình bình hành

=>AB=DC; AB//DC

vì B,C lần lượt là trung điểm của AE,DF

=>AE=DC; AB=EB=CD=CF

xét tứ giác AEFD có

AE=DC(cmt)

AE//DC

=>tứ giác AEFD là hình bình hành

xét tứ giác ABFC có

AB=CF(cmt)

AB//CF

=>tứ giác ABFC là hình bình hành

b)Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường

=>trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

Vì O là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD

=>AO=CO, BO=DO

vì AB//DC=>AM//CN

=>góc OMA=góc ONC (2 góc so le trong)

xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

góc OMA=góc ONC(cmt)

AO=CO(cmt)

góc AOM=góc CON (2 góc đối đỉnh)

=>tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g)

=>AM=CN(2 cạnh tương ứng)

xét hình bình hành ABCD có: AB=DC(2 cạnh đối nhau)

ta có:

AB=AM+BM;DC=DN+CN

=>BM=CN

xét tứ giác MBND có:

BM=CN(cmt)

BM//CN(vì AB//CD)

=>tứ giác MBND là hình bình hành

a)Vì ABCD là hình bình hành

=>AB=DC,AB//DC

Vì E,F lần lượt là trung điểm AB,CD

=>AE=BE=1/2AB, CF=DF=1/2CD

=>AE=BE=CF=DF

xét tứ giác AEFD có:

AE=DF(cmt)

AE//DF

=>Tứ giác AEFD là hình bình hành

xét tứ giác AECF có:

AE=CF(cmt)

AE//CF

=>Tứ giác AECF là hình bình hành

b)vì tứ giác AEFD là hình bình hành(cmt)

=>EF=AD

vì tứ giác AECF là hình bình hành(cmt)

=>AF=EC

a)Vì ABCD là hình bình hành

=>AB=DC,AB//DC

Vì E,F lần lượt là trung điểm AB,CD

=>AE=BE=1/2AB, CF=DF=1/2CD

=>AE=BE=CF=DF

xét tứ giác AEFD có:

AE=DF(cmt)

AE//DF

=>Tứ giác AEFD là hình bình hành

xét tứ giác AECF có:

AE=CF(cmt)

AE//CF

=>Tứ giác AECF là hình bình hành

b)vì tứ giác AEFD là hình bình hành(cmt)

=>EF=AD

vì tứ giác AECF là hình bình hành(cmt)

=>AF=EC