Do ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow A D = B C\) và \(A D\) // \(B C\)

Do \(A D\) // \(B C\) (cmt)

Góc ADH= góc CBK (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: tam giác ADH và tam giác CBKcó:

AD=BC (cmt)

góc ADH=góc CBK (cmt)

=> tam giác ADH= tam giác CBK (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AH=CK(hai cạnh tương ứng)

Do AH vuông góc với BD (gt)

CK vuông góc với BD(gt)

\(\Rightarrow A H\) // \(C K\)

Xét tứ giác AHCK có:

\(A H\) // \(C K\) (cmt)

\(A H = C K\) (cmt)

\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

\(I\) là trung điểm của HK (gt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

\(I\) là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD

\(\Rightarrow I B = I D\)

a, Do ABCD là hình bình hành => AD=BC, AD//BC

Mà E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC

=> AE=ED , BF=FC

suy ra DE=BF

Xét tứ giác EBFD ta có : DE//BF (do AD//BC) , DE=BF (cmt)

=> EBFD là hình bình hành

b, Ta có : ABCD là hình bình hành nên O vừa là trung điểm của AC và BD

Mà EBFD là hình bình hành nên => hai đường chéo EF và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Lại có O là trung điểm của BD nên cũng là trung điểm của EF

=> E,O,F thẳng hàng

Xét tam giác ABC có AN/AB=AM/AC=1/2

nên NM//BC và NM=1/2BC(1)

Xét tam giác GBC có GP/GB=GQ/GC=1/2

nên PQ//BC và PQ=BC/2(2)

Từ (1), (2) suy ra NM//PQ và NM=PQ

=>PQMN là hình bình hành

a, -Do ABCD là hình bình hành nên AB=CD, AB//CD

Mà B,C lần lượt là trung điểm AE,DF => AE=DF , AB=BE=CD=CF

Xét tứ giác AEFD ta có

AE // DF (do AB//CD)

AE=DF (cmt)

=>AEFD là hình bình hành

- Xét tứ giác ABFC ta có:

AB // CF (do AB // CD)

AB=CF (cmt)

=> ABFC là hình bình hành

b, Vì AEFD là hình bình hành nên AF và ED là đường chéo và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ta gọi giao điểm đó là O

Hình bình hành có hai đường chéo là AF và BC

Mà O là trung điểm của AF

=> O là trung điểm của ED

Vậy các trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

-Do ABCD là hình bình hành nên => OA=OC (do O là trung điểm)

Ta có : AB//CD (do ABCD là hình bình hành) mà M,N lần lượt thuộc AB,CD nên AM // CN

=> góc OAM = góc OCN ( hai góc so le trong)

-Xét hai tam giác OAM và tam giác OCN

góc AOM= góc NOC (hai góc đối đỉnh)

OA=OC (cmt)

góc OAM= góc OCN (cmt)

=> Tam giác OAM= tam giác OCN (g.c.g)

=> AM=CN (hai cạnh tương ứng)

Mà AB=AM+MB, DC=DN+NC => BM=DN

Xét tứ giác MBND ta có

BM//DN ( do AB//CD)

BM=DN (cmt)

=> MBND là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

a, -do ABCD là hình bình hành suy ra AB=CD

mà E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD nên AE=EB=1/2 AB , DF=FC=1/2 DC hay DF=FC=1/2 AB

=> AE=BE=CF=DF (do cùng bằng 1/2 AB)

+Lại có: AB//CD (do ABCD là hình bình hành) mà E,F lần lượt thuộc AB,DC suy ra AE//DF , AE//CF

+Xét tứ giác AEFD ta có : AE=DF (cmt), AE//DF

=> AEFD là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

-Xét tứ giác AECF ta có : AE=CF (cmt), AE//CF (cmt)

=> AECF là hình bình hành ( cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

b, -Do AEFD là hình bình hành => EF=AD (cạnh đối)

-Do AECF là hình bình hành => AF=EC (cạnh đối)