Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là Trọng tâm tam giác ABC

=> GM = GB/2 : GN = GC/2 (tính chất dủa tam giác) (1)

Mà P là trung điểm GB (giả thiết) nên => GP = PB = GB/2 (2)

Và Q là trung điểm GC (giả thiết) nên => GQ = QC = GC/2 (3)

Từ 1 , 2 ,3 => GM = GP , GN = GQ

Xét tam giác PQMN có : GM = GP và GN = GQ ( chứng minh trên )

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên hai cạnh đối AB và CD song song với nhau (AB // CD). O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, do đó O là trung điểm của mỗi đường chéo. Suy ra AO = OC.

Xét tam giác OAM và OCN ta có

AO = OC (chứng minh trên).

Góc OAM = góc OCN (hai góc so le trong, vì AB // CD và AC là cát tuyến). Góc AOM = góc CON (hai góc đối đỉnh)

=> tam giác OAM = OCN (góc - cạnh - góc)

Từ tam giác OAM = OCN , ta có hai cạnh tương ứng bằng nhau: AM = CN

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Do M thuộc cạnh AB và N thuộc cạnh CD, ta có MB // ND.

Ta cũng biết hai cạnh đối của hình bình hành ABCD bằng nhau, tức là AB = CD. Ta có: MB = AB - AM ND = CD - CN

Vì AB = CD và AM = CN, ta suy ra AB - AM = CD - CN, hay MB = ND. Tứ giác MBND có cặp cạnh đối MB và ND song song với nhau (do MB // ND) và bằng nhau (do MB = ND). Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Xét tứ giác AEFD:

E là trung điểm của AB, nên AE = EB = 1/2 AB

F là trung điểm của CD, nên DF = FC = 1/2 DC

Vì ABCD là hình bình hành, nên AB = CD

Suy ra AE = DF (vì cùng bằng 1/2 AB và 1/2 DC)

AE song song với DF (vì AB song song với CD). Vậy tứ giác AEFD có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF: Chứng minh tương tự như trên, ta có AE = CF và AE song song với CF. Vậy tứ giác AECF có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AECF là hình bình hành

Chứng minh EF = AD, AF = EC: Vì AEFD là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a): Suy ra EF = AD (tính chất cạnh đối của hình bình hành). Vì AECF là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a): Suy ra AF = EC (tính chất cạnh đối của hình bình hành).