ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, ta có AO = OC.

Hai góc ∠AOM và ∠CON là hai góc đối đỉnh, nên ∠AOM = ∠CON.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB ∥ CD. Xét đường thẳng AC cắt hai đường thẳng song song AB và CD, ta có cặp góc so le trong bằng nhau: ∠OAM = ∠OCN.

Xét △OAM và △OCN, ta có:

AO = OC (chứng minh trên).

∠AOM = ∠CON (đối đỉnh).

∠OAM = ∠OCN (so le trong)

Vậy △OAM = △OCN (theo trường hợp g.c.g)

△OAM ≅ △OCN, suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).

◦ Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Do M thuộc cạnh AB và N thuộc cạnh CD, nên ta có MB //DN.

Vì ABCD là hình bình hành nên hai cạnh đối bằng nhau: AB = CD.

Ta có độ dài đoạn thẳng MB = AB-AM và DN = CD-CN.

Vì AB = CD và AM = CN, nên AB-AM = CD-CN, suy ra MB = DN.

Xét tứ giác MBND, ta thấy có một cặp cạnh đối là MB và DN vừa song song với nhau (do AB ∥ CD) vừa bằng nhau (MB = DN).

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = \(\frac{1}{2}\)AB, CF = DF = \(\frac{1}{2}\)CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.