Vì Ax vuông góc AC ⇒ AM vuông góc AC

mà BM // AC

⇒ AM vuông góc BM

Chứng minh tương tự ⇒ AQ // BM và BM // AQ (cmt)

Suy ra AMBQ là hình bình hành.

Mà góc AMB=góc MBQ=góc ABQ=góc MAQ=90 độ

Vậy AMBQ là hình chữ nhật.

b) BQ vuông góc AC (cmt) mà BQ cắt AI=H

Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó: CH vuông góc AB

c) AMBQ là hình chữ nhật mà AB cắt QM=P

⇒ P là trung điểm AB và P là trung điểm QM

ΔABI vuông tại I có đường trung tuyến IP

⇒ IP=12AB

⇒ IP = PQ

⇒ tam giác IPQ cân tại P.

M là trung điểm của AC => MA= MC

BM =1/2AC => BM = MA=MC

=> ABCD là hình bình hành , mà góc A = góc D = 90 ĐỘ

=> ABCD là hình chữ nhật

Ta có I là trung điểm của AC và HD (gt). Vậy AHCD là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Trong tam giác AHC, AH là đường cao nên AH vuông góc với HC. Vì AHCD là hình bình hành và AH vuông góc với HC, nên AHCD là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).

có AH vuông góc BD

CK vuông góc BD

=>AH//CK

Xét tam giác AHD và tam giác BKC có

AD = BC (ABCD là hình bình hành )

góc AHD = góc BKC = 90 ĐỘ

GÓC ADH = góc KBC (AD//BC)

=> TAM GIÁC AHD= TAM GIÁC BKC

=> AH = CK

Xét tứ giác AHCK có :

AH//CK

AH=CK

=> AHCK là hình bình hành

b) AHKC là hình bình hành ,I là trung điểm HK => IH=IK

tam giác AHD= TAM GIÁC BKC (cmt)=> DH=KB , I thuộc BD

=> IB =ID

ABCD là hình bình hành => AD//BC, AD= BC

E,F là trung điểm AD,BC => AE=ED=BF=FC=AD/2=BC/2

AD//BC => ED//BF

Xét tứ giác EBFD có ED//BF, ED=BF

=> EBFD là hình bình hành

b) ABCD là hình hành, O là giao điểm của 2 đường chéo AC, BD

=> O là trung điểm của AC và BD

EBFD là hình bình hành (cmt) => 0 là trung điểm của EF

=> O.E,F thẳng hàng

Tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM,CN cắt nhau tại G => G là trọng tâm tam giác ABC

=>GM =GB/2, GN = GC/2

P là trung điểm GB =>GP=PB=GB/2

Q là trung điểm GC => GQ=QC =GC/2

=> GM=GP, GN= GQ

=> TỨ giác PQMN có 2 đường chéo MP, NQ cắt nhau tại trung điểm G

=> PQMN là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà B , C lần lượt là trung điểm của AE, DF nên AB = BE = \(\frac{1}{2}\)AE, CD = DF = \(\frac{1}{2}\)CF

Do đó AB = BE = CD = CF., AE=DF=2AB=2DC

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC có

AB//CF(AEFD là hình bình hành => AE//DF mà b,c LÀ TRUNG ĐIỂM của AE,DF =>AB//CF)

AB=CF(cmt)

=>ABFC là hình bình hành

b) AEFD là hình bình hành => đường chéo AF,DE cắt nhau

B ,C là trung điểm của AE,DF

=> AF,DE,BC CẮT NHAU TẠI 1 ĐIỂM là trung điểm tương ứng của các đoạn

vì ABCD là hình bình hành nên ta có

hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA=OC,OB=OD

AB//CD nên AM//CN suy ra OAM=OCN (2 góc so le trong )

xét tam giác OAM và OCN có

OAM=OCN (cmt)

OA=OC (cmt)

OAM=OCN ( 2 góc đối đỉnh )

tam giác OAM=tam giác OCN ( g.c.g )

=> AM=KN (2 cạnh tương ứng )

ta có AB=CN ( cmt)

AB = AM + BM , CN+ DN

=> BM=DN

xét tam giác MBND ta có

BM//DN ( vì AB//CD)

BM=DN ( cmt)

do đó tứ giác MBND là hình bình hành

ABCD là hình bình hành => ABCD

E Là trung điểm của AB => EA =EB

F là trung điểm của CD => FC = FD

=> EA = FD , Mà AB//CD =>EA//FD

=> AEFD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH

Tương tự có AE =FC, AE//FC

=> AEFC là hình bình hành

*CÓ AEFD là hình bình hành ,EF//AD=> EF = AD

*CÓ AEFC là hình bình hành ,AF//EC => AF =EC