Từ "thiếu phụ" trong câu này không chỉ đơn thuần để định danh, mà còn để tôn vinh vẻ đẹp trẻ trung đằm thắm, phong thái lịch sự của người phụ nữ trong vai trò người mẹ.

a) Chứng minh AH//CK:

AH vuông góc BD (gt).

CK vuông góc BD (gt).

AH// CK (vì cùng vuông góc với BD)

+) Xét tam giác ADH và tam giác CBK:

AD=BC (cạnh đối của hình bình hành ABCD).

Tam giác ADH= tam giác CBK (hay tam giác ADB= tam giác CBD, so le trong vì AD//BC).

Tam giác ADH và tam giác CBK là hai tam giác vuông tại H và K

Suy ra Tam giác ADH= tam giác CBK (cạnh huyền - góc nhọn).

+)Từ Tam giác  ADH= tam giác CBK, suy ra cạnh tương ứng AH=CK

+)Xét tứ giác AHCK có AH//CK và AH=CK. Suy ra AHCK là hình bình hành.

b) (chứng minh ở câu a), nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

+) I là trung điểm của HK (gt). I cũng là trung điểm của 

+)Xét tam giác ABC và tam giác ADC:

AB=CD (cạnh đối hình bình hành).

BC=AD (cạnh đối hình bình hành)

AC là cạnh chung.

Suy ra △ABC=△CDA (c.c.c)

+) Trong hình bình hành ABCD, I là trung điểm của AC. Trong hình bình hành, đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 I là giao điểm của AC và BD.

I là trung điểm của BD

Vì  I là trung điểm của BD

Suy ra IB=ID

a)+) ABCD là hình bình hành (gt), ta có:AD//BC,AD=BC.

+)Từ E,F là trung điểm của AD,BC (gt), ta có:

1. • ED=2AD.
   • BF=2​BC.
   • ED=BF (vì AD=BC)
2. Từ AD//BC, suy ra ED//BF (vì E thuộc AD,F thuộc BC).
3. Xét tứ giác EBFD có ED//BF và ED=BF. Suy ra EBFD là hình bình hành.

b) +)Tứ giác EBFD là hình bình hành (chứng minh ở câu a), hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

O là trung điểm của BD (chứng minh ở bước 1).

 Trung điểm của EF phải trùng với O. Suy ra O nằm trên đoạn thẳng EF.

Suy ra Ba điểm E,O,F thẳng hàng.

+)Xét tam giác GBC :

P là trung điểm của GB (gt).

Q là trung điểm của GC (gt).

PQ là đường trung bình của △GBC.

PQ//BC và PQ=21​BC (1)

+)Xét tam giác ABC:

N là trung điểm của AB (vì CN là trung tuyến).

M là trung điểm của AC (vì BM là trung tuyến).

MN là đường trung bình của △ABC.

MN//BC và MN=21​BC (2)

+)Xét tứ giác PQMN:

Từ (1) và (2), suy ra PQ//MN (vì cùng song song với BC) và PQ=MN (vì cùng bằng 21​BC).

Tứ giác PQMN có một cặp cạnh đối PQ và MN song song và bằng nhau

Suy ra PQMN là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB= CD Vì B là trung điểm của AE nên AE = 2AB

Vì C là trung điểm của DF nên DF = 2DC

Từ ba điều trên, suy ra AE = DF Vậy, AEFD là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // DC và AB=DC.

Vì C là trung điểm của DF nên D, C, F thẳng hàng và DC=CF.

Từ đó suy ra:AB=CF (cùng bằng DC).

AB // CF (vì AB // DC và C, F thuộc đường thẳng DC).

Xét tứ giác ABFC có một cặp cạnh đối AB và CF song song và bằng nhau. Vậy, ABFC là hình bình hành.

b) Gọi I là trung điểm của AF.

Vì ABFC là hình bình hành (chứng minh trên), hai đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do I là trung điểm của AF nên I cũng là trung điểm của BC.

Vì AEFD là hình bình hành (chứng minh trên), hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do I là trung điểm của AF nên I cũng là trung điểm của DE.

Từ hai điều trên suy ra, trung điểm của AF, DE, và BC trùng nhau tại điểm I. Vậy, các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

a)+) Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

OA=OC (vì O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD)

Tam giác OAM= tam giác OCN (hay tam giác BAC= tam giác ACD, hai góc so le trong vì AB // CD). tam giác AOM= tam giác CON (hai góc đối đỉnh).

Vậy, tam giác OAM= tam giác OCN (g.c.g).

b)+) Vì tam giác OAM= tam giác OCN (chứng minh trên), suy ra OM=ON. Điều này có nghĩa là O là trung điểm của đoạn thẳng MN.

• Ta lại có O là trung điểm của đường chéo BD (tính chất hình bình hành ABCD).

Xét tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Vậy, MBND là hình bình hành.

a) Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành

Suy ra +)AB//CB, AD//BC

+)AB = CD , AD bằng BC

+) góc A = góc C , góc B = góc D

+) Từ AB // CD, AB= CD suy ra AE // CF và AE = CF (E thuộc AB , F thuộc CD)

Xét tứ giác AECF có :

AE//CF(cmt)

AE=CF(cmt)

Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (dhnh)

Xét tứ giác AEFD có :

AE//FD( vì AB//CD)

Góc A bằng góc F , góc E bằng góc D ( vì góc A bằng góc B , góc C bằng góc D)

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết )

b) vì AEFD là hình bình hành nên EF = AD

Vì AECF là hình bình hành nên AF = CE