Ta có A I = 2 A O 3 = 2 R 3 AI= 3 2AO ​ = 3 2R ​ suy ra O I = R − 2 R 3 = R 3 OI=R− 3 2R ​ = 3 R ​ Δ O C I ΔOCI vuông tại O O, ta có: C I = O C 2 + O I 2 = R 2 + ( R 3 ) 2 = R 10 3 CI= OC 2 +OI 2 ​ = R 2 +( 3 R ​ ) 2 ​ = 3 R 10 ​ ​ nội tiếp đường tròn có cạnh C D CD là đường kính Suy ra Δ C E D ΔCED vuông tại E E Hai tam giác vuông O C I OCI và C E D CED có C ^ C :chung Suy ra Δ C O I ∽ Δ C E D ΔCOI∽ΔCED Suy ra C O C E = C I C D CE CO ​ = CD CI ​ C E = C O . C D C I = R . 2 R R 10 3 = 6 R 10 = 3 R 10 5 CE= CI CO.CD ​ = R 3 10 ​ ​ R.2R ​ = 10 ​ 6R ​ = 5 3R 10 ​ ​ .

Cho $\Delta ABC$ vuông, $\widehat{BAC}=90^\circ và $AB \le AC$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. a) Gọi E , F E,F là tiếp điểm của đường tròn ( I ) (I) với các cạnh A B , A C AB,AC Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: A E = A F ; B E = B D ; C D = C F AE=AF;BE=BD;CD=CF Do đó: 2 B D = B D + B E = B C − C D + A B − A E 2BD=BD+BE=BC−CD+AB−AE = B C + A B − ( C D + A E ) = B C + A B − ( C F + A F ) =BC+AB−(CD+AE)=BC+AB−(CF+AF) = B C + A B − A C =BC+AB−AC suy ra B D = B C + A B − A C 2 BD= 2 BC+AB−AC ​ b) Tương tự câu a) ta có: D C = B C + A C − A B 2 DC= 2 BC+AC−AB ​ mà A B 2 + A C 2 = B C 2 AB 2 +AC 2 =BC 2 ( Δ A B C ΔABC vuông tại A A), do đó: B D . D C = ( B C + A B − A C ) ( B C + A C − A B ) 4 BD.DC= 4 (BC+AB−AC)(BC+AC−AB) ​ B C 2 − ( A B − A C ) 2 4 = B C 2 − A B 2 − A C 2 + 2 A B . A C 4 4 BC 2 −(AB−AC) 2 ​ = 4 BC 2 −AB 2 −AC 2 +2AB.AC ​ = A B . A C 2 = S A B C = 2 AB.AC ​ =S ABC ​ .

Gọi D , E , F D,E,F là tiếp điểm của đường tròn ( I ) (I) với A B AB loading... Δ A B C ΔABC vuông tại A A, theo định lí Pythagore ta có: B C = A B 2 + A C 2 = 9 2 + 1 2 2 = 15 BC= AB 2 +AC 2 ​ = 9 2 +12 2 ​ =15 cm Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: A D = A F ; B D = B E ; C E = C F AD=AF;BD=BE;CE=CF. Do đó 2 A D + 2 B E + 2 C E = A B + B C + C A = 9 + 12 + 15 = 36 2AD+2BE+2CE=AB+BC+CA=9+12+15=36 2 A D + 2 B C = 36 2AD+2BC=36 A D = 3 AD=3 (cm) suy ra B D = 6 BD=6 (cm); D I = 3 DI=3 cm. Gọi N = B I ∩ A C N=BI∩AC, ta có: B I B N = B D B A = 6 9 = 2 3 = B G B M BN BI ​ = BA BD ​ = 9 6 ​ = 3 2 ​ = BM BG ​ Suy ra I G IG // N M NM và I G = 2 3 N M IG= 3 2 ​ NM. Ta có ⋄ I D A F ⋄IDAF là hình vuông, có: B D B A = D I A N = 2 3 BA BD ​ = AN DI ​ = 3 2 ​ Suy ra A N = 4 , 5 AN=4,5 cm. Mà M M là trung điểm của A C AC nên: N M = A M − A N = 6 − 4 , 5 = 1 , 5 NM=AM−AN=6−4,5=1,5 (cm) suy ra I G = 1 IG=1 cm.

Đường tròn ( I ; r ) (I;r) tiếp xúc với các cạnh A B , A C , B C AB,AC,BC theo thứ tự M , N , P M,N,P. Ta có: S A I B = 1 2 I M . A B = 1 2 r . A B S AIB ​ = 2 1 ​ IM.AB= 2 1 ​ r.AB (1); S A I C = 1 2 I N . A C = 1 2 r . A C S AIC ​ = 2 1 ​ IN.AC= 2 1 ​ r.AC (2); S B I C = 1 2 r . B C S BIC ​ = 2 1 ​ r.BC (3) Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3), ta được: S A I B + S A I C + S B I C S A B C = 1 2 r . ( A B + A C + B C ) S ABC ​ S AIB ​ +S AIC ​ +S BIC ​ ​ = 2 1 ​ r.(AB+AC+BC) Mà S A B C = 1 2 A B . A C = 6.8 2 = 24 S ABC ​ = 2 1 ​ AB.AC= 2 6.8 ​ =24 cm2, B C = 6 2 + 8 2 = 100 = 10 BC= 6 2 +8 2 ​ = 100 ​ =10 cm Nên ta có: 24 = 1 2 r ( 6 + 8 + 10 ) 24= 2 1 ​ r(6+8+10) suy ra r = 2 r=2 (cm).