Gọi tên khu vui chơi hình chữ nhật là \(A B C D\).

Đặt \(O A = x\) \(\left(\right. 0 < x < 10 \left.\right)\) (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông \(A D O\), ta có: \(A D = \sqrt{1 0^{2} - x^{2}}\)(cm).

Khi đó diện tích của khu vui chơi là:

\(A D . A B = 2 x . \sqrt{1 0^{2} - x^{2}} \leq x^{2} + 1 0^{2} - x^{2} = 100\) (cm\(^{2}\)).

Dấu “=” xảy ra, khi \(x = \sqrt{1 0^{2} - x^{2}}\)

\(x^{2} = 1 0^{2} - x^{2}\)

\(x = 5 \sqrt{2}\) (cm).

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi là \(100\) cm\(^{2}\) và đạt được khi hai cạnh lần lượt là \(5 \sqrt{2}\) cm và \(10 \sqrt{2}\) cm.

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(O M\). Xét tam giác vuông \(M A O\) có \(A I\) là trung tuyến nên \(A I = I M = I O\) (1)

Tương tự, xét tam giác \(M B O\) có \(B I = I M = I O\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(A I = I M = I O = I B\). Vậy \(A , M , B , O\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\), bán kính \(I A\).

b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(O M\) và \(A B\). Theo tính chất, hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(O M\) là phân giác góc \(A O B\).

Mặt khác \(A O B\) là tam giác cân tại \(O\), nên \(O H\) cũng là đường cao, đường trung tuyến của \(\Delta A O B\).

Khi đó \(A H = B H = 3\) cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông \(A H O\), ta có:

\(H O = \sqrt{A O^{2} - A H^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4\) (cm).

Ta có \(sin ⁡ \hat{A O H} = \frac{A H}{A O} = \frac{3}{5}\)

Suy ra \(\hat{A O B} = 2 \hat{A O H} \approx 7 4^{\circ}\).

c) Ta có \(cos ⁡ \hat{A O H} = \frac{O H}{A O} = \frac{4}{5}\).

Xét tam giác vuông \(M A O\), ta có:

\(cos ⁡ \hat{A O H} = cos ⁡ \hat{A O M} = \frac{A O}{O M}\)

Suy ra \(\frac{A O}{O M} = \frac{4}{5}\), khi đó \(O M = \frac{5 O A}{4} = \frac{25}{4}\) (cm).

Xét tam giác cân \(O M D\) có \(O A\) là đường cao nên cũng là phân giác, đường trung tuyến.

Suy ra \(\hat{D O C} = 4 \hat{A O M} = 4 \hat{A O H} \approx 14 8^{\circ}\). Hay số đo cung nhỏ \(C D\) bằng \(14 8^{\circ}\).

Do đó diện tích hình quạt ứng với cung nhỏ \(C D\) là:

\(S_{q} = \frac{n}{360} . \pi R^{2} = \frac{148}{350} . \pi . \left(\right. \frac{25}{4} \left.\right)^{2} \approx 50\) (cm\(^{2}\)).

Xét tam giác vuông ADC, ta có: \(\hat{A D C} + \hat{A C D} = 9 0^{\circ}\)

Xét tam giác vuông ABC, ta có: \(\hat{A C B} + \hat{A C D} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{A C B} = \hat{A D C}\).

Khi đó \(tan ⁡ \hat{A C B} = tan ⁡ \hat{A D C}\).

Hay \(\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A D}\).

Suy ra \(A B = \frac{A C . A C}{A D} = \frac{30.30}{20} = 45\) (m).

Từ đó tính được \(\hat{A C B} \approx 5 6^{\circ}\).

Gọi số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là \(x\) (công nhân), \(y\) (ngày).

Điều kiện: \(x > 10 , y > 2 , x \in N\).

Lượng công việc theo dự định là \(x y\) (ngày công).

Trường hợp 1: Số công nhân là \(x + 10\) (công nhân), số ngày là \(y - 2\) (ngày).

Do đó lượng công việc là \(\left(\right. x + 10 \left.\right) \left(\right. y - 2 \left.\right)\) (ngày công).

Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình

\(\left(\right. x + 10 \left.\right) \left(\right. y - 2 \left.\right) = x y\)

\(- 2 x + 10 y = 20 \left(\right. 1 \left.\right)\)

Trường hợp 2: Số công nhân là \(x - 10\) (công nhân), số ngày là \(y + 3\) (ngày).

Do đó lượng công việc là \(\left(\right. x - 10 \left.\right) \left(\right. y + 3 \left.\right)\) (ngày công).

Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình

\(\left(\right. x - 10 \left.\right) \left(\right. y + 3 \left.\right) = x y\)

hay \(3 x - 10 y = 30 \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left{\right. & - 2 x + 10 y = 20 \\ & 3 x - 10 y = 30\)

\(\left{\right. & x = 50 \\ & y = 12\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là \(50\) (công nhân), \(12\) (ngày).

Điều kiện: \(0 < a \neq 1\)

\(P = \left(\right. \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{a}} \left.\right)^{2} . \left(\right. \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} \left.\right)\)​

\(P = \left(\right. \frac{a - 1}{2 \sqrt{a}} \left.\right)^{2} . \left(\right. \frac{\left(\right. \sqrt{a} - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. \sqrt{a} + 1 \left.\right)^{2}}{a - 1} \left.\right)\)

\(P = \frac{\left(\left(\right. a - 1 \left.\right)\right)^{2}}{4 a} . \frac{- 4 \sqrt{a}}{a - 1}\)

\(P = \frac{1 - a}{\sqrt{a}} .\)

b. Tìm các giá trị của \(a\) để \(P < 0\).

Để \(P < 0\) thì \(\frac{1 - a}{\sqrt{a}} < 0\)

khi đó \(1 - a < 0\) (vì \(\sqrt{a} > 0\))

hay \(a > 1\) (tmđk).

Vậy \(a > 1\) thì \(P < 0.\)

Ta có: \(A = 2 \sqrt{12} - \sqrt{48} + 3 \sqrt{27} - \sqrt{108}\)

\(= 2 \cdot 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}\)

\(= 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}\)

\(= 3 \sqrt{3}\)