ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Suy ra G là trọng tâm của tam giác. ⇒BG =2/3 BM ;GM=1/3 BM (1) Mà: PG =1/2 .BG

=1/2. 2/3 BM

=1/3 BM (2) Từ (1), (2) suy ra GM = PG Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành

nên AB // CD ; DC = AB

suy ra AE // DF

→ AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC ,có:

AB=CF(AEFD là hình bình hành)

AB//CF(AEFD là hình bình hành)

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

•Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN

Góc OAM= góc OCN (2 góc so le trong)

Xét ∆OAM và ∆OCN có

góc OAM=góc OCN (cmt)

OA = OC (chứng minh trên)

Góc AOM=góc CON (2 góc đối đỉnh )

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Có: AB = AM + BM

CD = CN + DN.

Mà AB=CD (cmt).

AM=CN (cmt)

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN (vì AB // CD)

BM = DN (chứng minh trên)

=)tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD , AB = CD

=) AE // DF

Mà AB=CD (cmt)

Nên AE = EB = DF = FC

=) tứ giác AEFD là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành

=)AE // CF

Mà AE = CF (cmt)

=) AECF là hình bình hành

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF.

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC

70 - 12(2x-1) = 10 => 70 - 24x + 12 = 10 => 24x + 12 = 60 => 24x = 48 => x = 2