a) ( 2x + 1) ² = 4x² + 4x +1 b) (a − b/2) ³=a³ − 3a² . b/2 +3a (b/2)² − (b/2)³ =a³ − 3/2 a²b + 3/4ab² − 1/8b³

a) Tứ giác DKMN có D^ = K^ = N^ = 90∘ nên là hình chữ nhật. b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF // MH Xét ΔKFM và ΔNME có: K^=N^=90∘ FM=ME ( giả thiết) KMF^=E^ (đồng vị) Vậy ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra KF=MN (hai cạnh tương ứng)

mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN. Do đó DF=MH. Tứ giác DFMH có DF // MH,DF=MH nên là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng. c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN Mà DK=1/2DF DN=KM=NE nên

DN=1/2D. (2) Từ (1),(2) suy ra DF=DE. Vậy ΔDFE cần thêm điều kiên cân tại D

a) Vì AB=2BC suy ra BC=AB2=AD ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD. Tứ giác AIKD có AI // DK,AI=DK nên AIKD là hình bình hành. Lại có AD=AI AD=AI nên AIKD là hình thoi. Mà IAD^ = 90∘ do đó AIKD là hình vuông. Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

b) Vì AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK hay góc ADK =45∘

Tương tự góc ICD = 45∘

Tam giác IDC cân do góc DIC =90∘ nên tam giác đó vuông cân

c) vì AIKD ,BCKI là các hình vuông nên 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại TĐ mỗi đường nên SI = SK = DI/2

Và IR = RK = IC/2

Suy ra ISKR là hình thoi lại có góc DIC bằng 90∘

Nên ISKR là hình vuông

a) ABCD là hình vuông nên AB=BC=CD=DA Mà AM=BN=CP=DQ. Trừ theo vế ta được AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ Suy ra MB=NC=PD=QA b) Xét ΔQAM và ΔNCP có: A^ = C^ = 90∘ AQ=NC (chứng minh trên) AM=CP (giả thiết) Suy ra tam giác ΔQAM=ΔNCP (c.g.c) c) Từ ΔΔQAM=ΔNCP suy ra NP=MQ (hai cạnh tương ứng). Chứng minh tương tự câu b ta có ΔΔQAM=ΔPDQ và ΔQAM=ΔMBN Khi đó ⇒MQ=PQ,MN=MQ và AMQ^=DQP Mà AMQ^+AQM^=90∘ suy ra DQP^ +AQM^=90∘ DQP + Do đó, MQP^ = 90∘ MQP Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có MQ P^ =90

∘MQP=90 ∘ nên là hình vuông.

a) Tứ giác AMCK có hai đường chéo AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM = MC = MB Vậy hình bình hành AMCK có AM = MC nên là hình thoi. b) Vì AMCK là hình thoi nên AK // BM và AK=MC=BM

Tứ giác AKMB có AK // BM,AK=BM nên là hình bình hành. c) Để AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay AM⊥MC. Khi đó ΔABC có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A Vậy ΔABC vuông cân tại A thì AMCK là hình vuông.

a) ΔABC vuông cân nên B^=C^=45∘. ΔBHE vuông tại H có BEH^ + B^= 90∘ Suy ra BEH^= 90∘− 45∘ = 45∘ nên B^ = BEH^ = 45∘ Vậy ΔBEH vuông cân tại H b) Chứng minh tương tự câu a ta có tam giác CFG vuông cân tại G

Nên GF = GC và HB = HE

Mặt khác BH = HG = GC suy ra EH = HG = GF và EH // FG ( cùng vuông góc với BC)

Tứ giác EFGH có EH // FG, EH = FG nên là hình bình hành

Hình bình hành EFGH có 1 góc vuông H nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật EFGH có 2 cạnh kề bằng nhau EH = HG nên là hình vuông

Tứ giác OBAC có ba góc vuông B^ = C ^= BOC^ = 90∘

Nên OBAC là hình chữ nhật.

Mà A nằm trên tia phân giác OM suy ra AB=AC.

Khi đó OBAC là hình vuông.

a) ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường. Xét ΔOBM và ΔODP có: OB=OD ( giả thiết) ^OBM = ODP (so le trong) góc BOM = DOP (đối đỉnh)

Vậy Δ OBM= Δ ODP ΔOBM=ΔODP (g.c.g)

suy ra OM = OB (2 cạnh tương ứng )

Chứng minh tương tự ΔOAQ =ΔOCN (g.c.g) suy ra OQ=ON (hai cạnh tương ứng)

MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. b) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP⊥NQ nên là hình thoi.

a) ABCD là hình bình hành nên

AB=DC suy ra 1/2 AB = 1/2 DC

Do đó A M = B M = D N = C N Tứ giác AMCN có

AM // N C , A M = N C

nên là hình bình hành.

Lại có ΔADC vuông tại A có

AN là đường trung tuyến nên

A N = 1/2 DC = DN = CN

Hình bình hành AMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo AC , MN vuông góc với nhau.

Tứ giác AMCN là hình thoi.

Ta co ABCD là hình thoi nên

AC ⊥ BD tại trung điểm của mỗi đường nên BD là trung trực của AC Suy ra GA=GC HA = HC ( 1 ) Và AC là trung trực của BD suy ra AG = AH, CG = CH ( 2 ) Từ ( 1 ) , ( 2 ) suy ra AG =GC=CH=HA AGCH là hình thoi.