Xét \(\Delta A D C\) có \(M O\) // \(D C\) nên theo định lí Thalès ta có

   \(\frac{O M}{D C} = \frac{O A}{A C}\). (1)

Xét \(\Delta B C D\) có \(O N\) // \(C D\) nên theo định lí Thalès ta có

   \(\frac{O N}{C D} = \frac{B N}{B C}\). (2)

Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; C A B\) có \(O N\) // \(C D\) nên theo định lí Thalès ta có

   \(\frac{B N}{B C} = \frac{A O}{A C}\). (3)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 \left.\right)\), \(\left(\right. 3 \left.\right)\) suy ra \(\frac{O M}{D C} = \frac{O A}{A C} = \frac{B N}{B C} = \frac{O N}{C D}\).

Suy ra \(O M = O N\).

a) \(x^{2} + 2 x y + y^{2} - x - y = \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x + y - 1 \left.\right)\);

b) \(2 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = \&\text{nbsp}; \left(\right. 2 x + 2 \left.\right) \left(\right. x^{2} + 2 x + 4 \left.\right)\).

Ta có: \(A = x^{2} + 2 y^{2} 2 x y + 2 x 6 y + 2 028\)

\(= x^{2} 2 x y + y^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 4 y + 1 + 4 + 2 023\)

\(= \left[\right. x^{2} - 2 x y + \left(\right. - y^{2} \left.\right) + 2 x - 2 y + 1 \left]\right. + \left(\right. y^{2} - 4 y + 4 \left.\right) + 2 023\)

\(=\left.\left(\right.x-y+1\right)^2+\left.\left(\right.y-2\right)^2+2023\)

Vì \(\left.\left(\right.x-y+1\right)^2\geq0\) với mọi \(x , y\) và \(\left(y-2\right)^2\geq0\) với mọi \(y\).

Suy ra \(A \geq 2 023\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(2\) \(023\) đạt được khi \(x - y = - 1\) và \(y - 2 = 0\) hay \(x = 1\) và \(y = 2\).

a) Vì \(d\) // \(C D\) // \(A B\) nên \(M P\) // \(C D\) và \(P N\) // \(A B\).

Xét \(\Delta A D C\) có \(M P\) // \(C D\):

     \(\frac{A M}{M D} = \frac{A P}{P C}\)( Định lí Thalès) (1)

Xét \(\Delta A C B\) có \(N P\) // \(A B\):

     \(\frac{A P}{P C} = \frac{B N}{N C}\)( Định lí Thalès) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(\frac{A M}{M D} = \frac{B N}{N C}\)

b) Chứng minh \(\frac{M P}{D C} = \frac{1}{3}\)

Suy ra \(M P = 2\) cm

Chứng minh \(\frac{N P}{A B} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(P N = \frac{8}{3}\) cm.

Tính được \(M N = \frac{14}{3}\) cm.