a)Ta có:

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

=> 1/2 AB = 1/2 AC hay AE = AD

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC(cmt)

góc A chung

AD = AE (cmt)

=> 2Δ bằng nhau

=> BD=CE

b) BD = CE ( cmt )

=> 2/3 BD = 2/3 CE hay GB = GC

=> ΔGBC cân tại G

c) GD+GE = 1/3CD = 1/3CE

Mà BD = CE (cmt)

=> 1/3 BD + 1/3 CE = 2/3 BD = BG

Gọi F là t/đ BC 

=> BF = 1/2 BC

Xét tg BGF vuông tại F ( do tg ABC cân => AF vuông góc Bc ):

BG>BF(ch>cgv)

=> GD + GE> 1/2BC

Xét tam giác ABD có C là trung điểm của cạnh AD⇒ BC là trung tuyến của tam giác ABD.

G∈BC và GB=2 GC GB=2GC⇒GB=2/3BC⇒G là trọng tâm tam giác ABD.

AE là đường trung tuyến của tam giác ABD nên A,G,E thẳng hàng.

b) G là trọng tâm tam giác ABD⇒DG là đường trung tuyến của tam giác này.

=> DG đi qua trung điểm của cạnh AB 

a) Ta có BF=2BE⇒BE=EF.

Mà BE=2ED nên EF=2ED⇒D là trung điểm của EF⇒CD là đường trung tuyến của tam giác EFC.

Vì K là trung điểm của CF nên EK là đường trung tuyến của △EFC.

△EFC có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của △EFC.

b) Ta có G là trọng tâm tam giác EFC nên EC=2/3 và GE=3/2​EK

⇒GK=3/1.​EK⇒GE=2.GK⇒GE​=2.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC

⇒BM=2/3​BG; CN=2/3​CG.

⇒BM+CN=3/2 (CG+GN)

Xét tam giác CGB: BG+GC>BC

⇒BM+CN>3/2.BC

 Ta có DM=DG suy ra GM=2.GD

Ta có G là giao điểm của BD và CE suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra:BG=2.GD

Suy ra BG=GM

Chứng minh tương tự ta được CG=GN

b) Xét tam giác GMN và tam giác GBC có GM=GB (chứng minh trên)

-MGN=BGC (hai góc đối đỉnh);

-GN=GC (chứng minh trên).

Do đó GMN= GBC (c.g.c)

MN=BC (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên tam giác GMN=tam giác GBC suy ra NMG=CBG (hai góc tương ứng).

Mà NMG và CBG ở vị trí so le trong nên MN// BC

Gọi D là giao điểm của AG và BC⇒DB=DC.

Ta có BG=2/3 BE; CG=2/3CF(tính chất trọng tâm).

Vì BE=CF nên BG=CG⇒△BCG cân tại G
⇒△GCB=△GBC

Xét △BFC vàM△CEB có CF=BE (giả thiết);

⇒△GCB=△GBC (chứng minh trên);

BC là cạnh chung.

Do đó △BFC=△CEB (c.g.c)

⇒△FBC=△ECB (hai góc tưong ứng)

⇒△ABC cân tại A⇒AB=AC.