Chứng minh tam giác ABC với tâm giác GMN :

Trong tam giác ABC, P và Q là trung điểm của GB , và GC , theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có PQ//BC và PQ =1/2 BC . Trong tam giác ABC, BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Điều này có nghĩa G là trọng tâm của tam giác ABC. Theo tính chất trọng tâm, ta có G chia đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1. Vậy GB=2/3 BM và GC =2/3 CN .

Trong tam giác ABC , ta cũng có MN là đường trung bình nối điểm của AB và AC . Do đó ...

Tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cách nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

A b c d là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại O .

Đường thẳng đi qua ô cắt AB tại m và CD tại N .

Trong hình bình hành ABCD , ta có AB // CD. Do AB//CD

Nên AM // CN .

Đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song AB và CD ,suy ra góc OAM = OCN (hai góc so le trong).

O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC

Đối đỉnh, ta có:

Góc AOM = CON

Kết luận:

Xét tam giác OAM và tam giác OCN , ta có:

Góc OAM = góc OCN ( cmt )

OA = OC ( cmt )

Góc AOM = CON (đổi đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN ( c.g.c ) .

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cách nhau tại O .

Ta có OA = OC và OB = OD vi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .

Vì O là trung điểm của MN và O cũng là trung điểm của BD , nên tự giác MBND là hình bình hành.

A b c d là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại O .

Đường thẳng đi qua ô cắt AB tại m và CD tại N .

Trong hình bình hành ABCD , ta có AB // CD. Do AB//CD

Nên AM // CN .

Đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song AB và CD ,suy ra góc OAM = OCN (hai góc so le trong).

O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC

Đối đỉnh, ta có:

Góc AOM = CON

Kết luận:

Xét tam giác OAM và tam giác OCN , ta có:

Góc OAM = góc OCN ( cmt )

OA = OC ( cmt )

Góc AOM = CON (đổi đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN ( c.g.c ) .

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cách nhau tại O .

Ta có OA = OC và OB = OD vi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .

Vì O là trung điểm của MN và O cũng là trung điểm của BD , nên tự giác MBND là hình bình hành.

A b c d là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại O .

Đường thẳng đi qua ô cắt AB tại m và CD tại N .

Trong hình bình hành ABCD , ta có AB // CD. Do AB//CD

Nên AM // CN .

Đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song AB và CD ,suy ra góc OAM = OCN (hai góc so le trong).

O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC

Đối đỉnh, ta có:

Góc AOM = CON

Kết luận:

Xét tam giác OAM và tam giác OCN , ta có:

Góc OAM = góc OCN ( cmt )

OA = OC ( cmt )

Góc AOM = CON (đổi đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN ( c.g.c ) .

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cách nhau tại O .

Ta có OA = OC và OB = OD vi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .

Vì O là trung điểm của MN và O cũng là trung điểm của BD , nên tự giác MBND là hình bình hành.

A b c d là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại O .

Đường thẳng đi qua ô cắt AB tại m và CD tại N .

Trong hình bình hành ABCD , ta có AB // CD. Do AB//CD

Nên AM // CN .

Đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song AB và CD ,suy ra góc OAM = OCN (hai góc so le trong).

O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC

Đối đỉnh, ta có:

Góc AOM = CON

Kết luận:

Xét tam giác OAM và tam giác OCN , ta có:

Góc OAM = góc OCN ( cmt )

OA = OC ( cmt )

Góc AOM = CON (đổi đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN ( c.g.c ) .

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cách nhau tại O .

Ta có OA = OC và OB = OD vi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .

Vì O là trung điểm của MN và O cũng là trung điểm của BD , nên tự giác MBND là hình bình hành.

A b c d là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại O .

Đường thẳng đi qua ô cắt AB tại m và CD tại N .

Trong hình bình hành ABCD , ta có AB // CD. Do AB//CD

Nên AM // CN .

Đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song AB và CD ,suy ra góc OAM = OCN (hai góc so le trong).

O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC

Đối đỉnh, ta có:

Góc AOM = CON

Kết luận:

Xét tam giác OAM và tam giác OCN , ta có:

Góc OAM = góc OCN ( cmt )

OA = OC ( cmt )

Góc AOM = CON (đổi đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN ( c.g.c ) .

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cách nhau tại O .

Ta có OA = OC và OB = OD vi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .

Vì O là trung điểm của MN và O cũng là trung điểm của BD , nên tự giác MBND là hình bình hành.

A b c d là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại O .

Đường thẳng đi qua ô cắt AB tại m và CD tại N .

Trong hình bình hành ABCD , ta có AB // CD. Do AB//CD

Nên AM // CN .

Đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song AB và CD ,suy ra góc OAM = OCN (hai góc so le trong).

O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC

Đối đỉnh, ta có:

Góc AOM = CON

Kết luận:

Xét tam giác OAM và tam giác OCN , ta có:

Góc OAM = góc OCN ( cmt )

OA = OC ( cmt )

Góc AOM = CON (đổi đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN ( c.g.c ) .

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cách nhau tại O .

Ta có OA = OC và OB = OD vi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .

Vì O là trung điểm của MN và O cũng là trung điểm của BD , nên tự giác MBND là hình bình hành.

A b c d là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại O .

Đường thẳng đi qua ô cắt AB tại m và CD tại N .

Trong hình bình hành ABCD , ta có AB // CD. Do AB//CD

Nên AM // CN .

Đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song AB và CD ,suy ra góc OAM = OCN (hai góc so le trong).

O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC

Đối đỉnh, ta có:

Góc AOM = CON

Kết luận:

Xét tam giác OAM và tam giác OCN , ta có:

Góc OAM = góc OCN ( cmt )

OA = OC ( cmt )

Góc AOM = CON (đổi đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN ( c.g.c ) .

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cách nhau tại O .

Ta có OA = OC và OB = OD vi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .

Vì O là trung điểm của MN và O cũng là trung điểm của BD , nên tự giác MBND là hình bình hành.

A b c d là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại O .

Đường thẳng đi qua ô cắt AB tại m và CD tại N .

Trong hình bình hành ABCD , ta có AB // CD. Do AB//CD

Nên AM // CN .

Đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song AB và CD ,suy ra góc OAM = OCN (hai góc so le trong).

O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC

Đối đỉnh, ta có:

Góc AOM = CON

Kết luận:

Xét tam giác OAM và tam giác OCN , ta có:

Góc OAM = góc OCN ( cmt )

OA = OC ( cmt )

Góc AOM = CON (đổi đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN ( c.g.c ) .

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cách nhau tại O .

Ta có OA = OC và OB = OD vi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .

Vì O là trung điểm của MN và O cũng là trung điểm của BD , nên tự giác MBND là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AD//BC .

Vì E là trung điểm của AB nên AE =1/2 AB

Vì F là trung điểm của CD nên DF =1/2 CD

Vì ABCD là hình bình hành nên AB =CD suy ra AE = DF

Vì AB // CD nên AE //DF

Xét tứ giác AEFD có AE // DF . Do đó ,tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Chứng minh EF= AD :

Vì AEFD là hình bình hành nên EF = AD nên EF = EC :

Chứng minh AF = EC :

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC