a)Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên ^ADB=^CBD (so le trong)

Xét tam giác ADH và tam giác CBK có:

^AHD=^CKB=90°;

AD = BC (chứng minh trên);

^ADH=^CBK (do ^ADB=^CBD).

Do đó tam giác ADH = tam giác CBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH vuông góc  DB và CK vuông góc  DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Vì AHCK là hình bình hành nên 2 đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm

Mà I là trung điểm của Hk

Suy ra I là trung điểm của AC

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID

a) ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC

Mà E là trung điểm của AD nên AE=ED

F là trung điểm của BC nên BF=FC

=> DE=BF

Xét tứ giác EBFD có:

DE//BF ( do AD//BC)

DE=BF ( cmt)

=> EBFD là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành )

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét Tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

=> GM = GB/2 ; GN=GC/2 (1)

Mà P là trung điểm của GB (gt) nên GP=PB=GB/2 (2)

Q là trung điểm của GC (gt) nên GQ=QC=GC/2 (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra GM=GP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có: GM= GP và GN= GQ ( cmt)

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên PQMN là hình bình hành.

a) Ta có: ABCD là hình bình hành. Nên AB//CD hay AE//CD và AB=CD

Mà B là trung điểm của AE => AE =2AB

C là trung điểm của DF => DF = 2CD

=> AE=DF

Xét tứ giác AEFD có:

AE=DF ( cmt)

AE//DF ( cmt)

=> AEFD là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành )

Ta có: AB//CD (ABCD là hình bình hành )

=> AB//CF

Vì C là trung điểm của DF nên CF=CD = 1/2 DF

Mà CD=AB ( ABCD là hình bình hành)

=> CF=AB

Xét tứ giác ABFC có:

AB//CF ( cmt)

AB=CF ( cmt)

=> ABFC là hình bình hành

b) Gọi O là trung điểm của AF 1

Vì AEFD là hình bình hành có 2 đường chéo AF và DE

Mà O là trung điểm của AF

=> O là trung điểm của DE ( Tính chất hình bình hành) 2

Ta lại có: ABFC là hình bình hành có 2 đường chéo AF và BC

Mà O là trung điểm của AF

=> O là trung điểm của BC ( tính chất hình bình hành ) 3

Từ 1,2 và 3 => O là trung điểm của 3 đoạn thẳng AF,DE,BC .

Ta có : ABCD là hình bình hành có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

=> OA=OC , OB=OD

Mà AB//CD nên AM//CN

Suy ra góc OAM = góc OCN ( 2 góc so le trong )

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

^ OAM= ^ OCN ( cmt)

OA=OC ( cmt)

^ AOM= ^CON ( 2 góc đối đỉnh )

=> Tam giác OAM = tam giác OCN ( g-c-g)

Suy ra AM=CN ( 2 cạnh tương ứng)

Ta có: AB=CD ( ABCD là hình bình hành )

AB=AM + BM

CD= CN+DN

=> BM= DN

Xét tứ giác MBND có:

BM//DN ( cmt)

BM= DN ( cmt)

Suy ra BMDN là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

a) Ta có: ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AB=CD

Suy ra: AE//DF, AE//FC

Mà E là trung điểm của AB => AE=EB=1/2AB

F là trung điểm của CD=> DF=FC=1/2CD

Nên AE=EB=DF=FC

Xét tứ giác AEFD có:

AE//DF ( cmt)

AE=DF ( cmt)

Suy ra AEDF là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét tứ giác AEFC có:

AE//FC ( cmt)

AE=FC (cmt)

Suy ra AEFC là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Vì AEFD là hình bình hành ( cma )

AD=EF ( tính chất hình bình hành )

Vì AEFC là hình bình hành ( cma)

AF=EC ( tính chất hình bình hành ).