Xét biệt thức:

\(\Delta = b^{2} - 4 a c\)

Với
\(a = 1 , \textrm{ }\textrm{ } b = m + 2 , \textrm{ }\textrm{ } c = 2 m\)

\(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m\) \(= m^{2} + 4 m + 4 - 8 m\) \(= m^{2} - 4 m + 4\) \(= \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\Delta > 0\) \(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} > 0\) \(m \neq 2\)

Kết luận:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m \neq 2\).

\(m\)

Theo hệ thức Viète:

x1 + x2 = -b/a

\(x_{1} + x_{2} = - \left(\right. m + 2 \left.\right)\) \(x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(m\)

Từ:

\(x_{1} x_{2} = 2 m\) \(m = \frac{x_{1} x_{2}}{2}\)

Thay vào:

\(x_{1} + x_{2} = - \left(\right. \frac{x_{1} x_{2}}{2} + 2 \left.\right)\)

Nhân 2 hai vế:

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = - x_{1} x_{2} - 4\)

Chuyển vế:

\(x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 4 = 0\)

Kết quả

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m \neq 2\).
• Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc \(m\) là:

\(\boxed{x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 4 = 0}\)

Theo Viète:

⇒

Do hai nghiệm hoán vị cho nhau nên giá trị biểu thức bằng nhau.

Kết luận

Theo Viète:

x1 + x2 = -b/a

Với phương trình \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\)

\(x_{1} + x_{2} = - 2024\) \(x_{1} x_{2} = 2\)

Với phương trình \(x^{2} + 2025 x + 2 = 0\)

\(x_{3} + x_{4} = - 2025\) \(x_{3} x_{4} = 2\)

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right)\)

Nhóm lại:

\(A = \left[\right. \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left]\right. \cdot \left[\right. \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) \left]\right.\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4}\)

Thay Viète:

\(= x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2\)

Nhưng \(x_{1}\) là nghiệm của:

\(x_{1}^{2} + 2024 x_{1} + 2 = 0\)

⇒

\(x_{1}^{2} = - 2024 x_{1} - 2\)

Thay vào:

\(\left(\right. - 2024 x_{1} - 2 \left.\right) - 2025 x_{1} + 2\) \(= - 4049 x_{1}\)

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right)\) \(= x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4}\) \(= x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2\)

Vì \(x_{2}^{2} + 2024 x_{2} + 2 = 0\)

⇒

\(x_{2}^{2} = - 2024 x_{2} - 2\)

Thay vào:

\(\left(\right. - 2024 x_{2} - 2 \left.\right) + 2025 x_{2} + 2\) \(= x_{2}\)

\(A = \left(\right. - 4049 x_{1} \left.\right) \left(\right. x_{2} \left.\right)\) \(A = - 4049 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)\) \(x_{1} x_{2} = 2\)

⇒

\(A = - 4049 \cdot 2\) \(A = - 8098\)

Kết quả

\(A = - 8098\)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Xét biệt thức Δ:

\(\Delta = b^{2} - 4 a c\)

Với:

• \(a = 1\)
• \(b = - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\)
• \(c = 2 m - 2\)

Ta có:

\(\Delta = \left[\right. - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. 2 m - 2 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 8 m + 8\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 - 2 m + 2 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 3 \left.\right)\)

Vì \(m^{2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên:

\(\Delta > 0 \forall m\)

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính \(B\)

Ta có:

\(B = x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\)

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của (1) nên:

\(x_{1}^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 m - 2 = 0\) \(x_{1}^{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - 2 m + 2\)

Thay vào \(B\):

\(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - 2 m + 2 + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\) \(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\)

Theo Viète:

x1 + x2 = -b/a

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\)

Thay vào:

\(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \cdot 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\) \(B = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

Kết quả:

a) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b)

\(B = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

Xét phương trình bậc hai \(a x^{2} + b x + c = 0\).

x1 * x2 = c/a

Với phương trình đã cho:

• \(a = 1\)
• \(b = - m\)
• \(c = - 1\)

Theo hệ thức Viète:

\(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 1}{1} = - 1\)

Vì \(x_{1} x_{2} = - 1 < 0\) nên hai nghiệm của phương trình luôn trái dấu.

Ngoài ra:

\(\Delta = b^{2} - 4 a c = m^{2} + 4 > 0\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

b) Tính giá trị của biểu thức

\(A = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

Rút gọn từng phân thức:

\(\frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} = x_{1} + 1 - \frac{1}{x_{1}}\) \(\frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}} = x_{2} + 1 - \frac{1}{x_{2}}\)

Do đó:

\(A = \left(\right. x_{1} + 1 - \frac{1}{x_{1}} \left.\right) - \left(\right. x_{2} + 1 - \frac{1}{x_{2}} \left.\right)\) \(A = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. \frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} \left.\right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1} x_{2}}\)

Mà \(x_{1} x_{2} = - 1\)

\(\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} = x_{1} - x_{2}\)

Suy ra:

\(A = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) = 0\)

Kết quả:

• a) Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
• b) \(A = 0\).

a)

\(\left(\right. m^{2} + \frac{1}{2} \left.\right) x - 1 \leq 0.\)

Xét hệ số của \(x\): \(m^{2} + \frac{1}{2}\). Vì \(m^{2} \geq 0\) nên

\(m^{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} > 0 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp}; m \in \mathbb{R} .\)

Vì hệ số khác \(0\), đây là bất phương trình bậc nhất theo \(x\). Ta có thể chia hai vế cho số dương \(m^{2} + \frac{1}{2}\) mà không đổi chiều bất phương trình:

\(x \leq \frac{1}{m^{2} + \frac{1}{2}} .\)

Kết luận (a): là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi \(m\), nghiệm \(x \leq \frac{1}{m^{2} + \frac{1}{2}}\).

b)

\(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) x \leq - m + 2024.\)

Xét \(A = m^{2} + m + 2\). Định thức của tam thức bậc hai \(m^{2} + m + 2\) là \(\Delta = 1 - 8 = - 7 < 0\), nên

\(m^{2} + m + 2 > 0 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp}; m \in \mathbb{R} .\)

Do đó \(A > 0\) và hệ số \(- A\) của \(x\) là khác \(0\) (âm) cho mọi \(m\). Vậy đây cũng là bất phương trình bậc nhất theo \(x\).

Nhân cả hai vế với \(- 1\) (đảo chiều bất phương trình):

\(A x \geq m - 2024.\)

Chia cho \(A > 0\):

\(x \geq \frac{m - 2024}{m^{2} + m + 2} .\)

Kết luận (b): là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi \(m\), nghiệm \(x \geq \frac{m - 2024}{\textrm{ } m^{2} + m + 2 \textrm{ }}\).

Tóm tắt: cả hai đều là bất phương trình bậc nhất theo \(x\) với mọi \(m\). Nghiệm:

\((\text{a})\&\text{nbsp}; x \leq \frac{1}{m^{2} + \frac{1}{2}} , (\text{b})\&\text{nbsp}; x \geq \frac{m - 2024}{m^{2} + m + 2} .\)