a) chứng minh ∆OBC cân :

Ta có ∆ ABC=∆ ACB ( đó ∆ ABC cân tại A).

Vì BQ, CP là phân giác nên ∆ OBC = 1/2 ∆ ABC = 1/2 ∆ ACB =∆ OCB.

Suy ra ∆ OBC cân tại O .

b) O cách đều ba cạnh :

O là giao điểm của hai đường phân giác BQ và CP nên O là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC. Do đó, O cách đều ba cạnh AB,AC,BC.

c ) AO là đường trung trực của BC:

Trong tam giác cân ABC, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A đồng thời là đường trung trực. Vì Ở là tâm nội tiếp nên AO là phân giác góc A, suy ra AO vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

D) chứng minh CP bằng BQ :

Xét ∆ BQC và ∆ CPB có:

BC là cạnh chung.

∆QCB = ∆ PBC ( góc đáy tam giác cân ABC).

∆CBQ= ∆BCP (bằng nửa hai góc bằng nhau).

Suy ra ∆ BQC=∆CPB ( g.c.g) suy ra BQ = CP.

e) ∆ APQ là tam giác gì? Vì sao?

∆ APQ là tam giác cân tại A .

Vì: Từ ∆ BQC = ∆ CPB ( câu D) suy ra CQ = BP.

Mà AB = AC , nên AB - BP = AC - CQ suy ra ∆ AB = AQ .

a) Chứng minh AD = BC

xét ∆ OAD và ∆ OCB có:

OA = OC (gt)

Góc O chung

OD = OB ( gt)

Suy ra ∆OAD =∆ OCB (c.g.c)

Suy ra AD=BC.

b) chứng minh ∆ABE = ∆CDE

Ta có: AB=OA-OB và CD = OC- OD mà OA=OC, OB = OD suy ra AB = CD.

Từ câu a: góc OAD = góc OCB và góc ODA = góc OBC suy ra góc CDE = gócABE (cùng bù với hai góc bằng nhau).

Suy ra ∆ ABE =∆CDE ( g.c.g) vì góc A bằng góc C, AB=CD, góc B=góc D.

c )chứng minh OE nạp tia phân giác của góc xOy

Xét ∆OBE và ∆ ODE có:

OB=OD (gt)

OE chung.

BE=DE ( do ∆ ABE = ∆ CDE)

Suy ra ∆OBE=∆ODE (c.c.c) suy ra góc BOE= góc DOE.

Vậy OE là tia phân giác của góc xOy.

a) Chứng minh ∆ IOE và ∆ IOF

Xét hai tam giác vuông ∆ IOE (tại E) và ∆IOF ( tại F):

OI là cạnh huyền chung

Góc EOI = góc FOI (vì Om là tia phân giác của góc xOy).

Suy ra ∆ IOE=∆ IOF (cạnh huyền-góc nhọn).

b) chứng minh EF= Om

Từ ∆IOE=∆IOF suy ra OE=OF

suy ra ∆ OEF cân tại O

Trong tam giác cân OEF, tia phân giác Om của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao

Vậy EF vuông góc với Om

Vì góc BAC=120° nên góc ngoài tại đỉnh A của ∆ ABD bằng 60°. Mà góc DAC= 1/2 góc BAC =60°, nên AC là tia phân giác ngoài tại đỉnh A của ∆ ABD.

I là giao điểm của tia phân giác ngoài tại D(DI) và tia phân giác ngoài tại A(AC) của ∆ ABD.

suy ra I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc B của ∆ ABD . Theo tính chất tâm đường tròn bàng tiếp, I cách đều hai đường thẳng AB và BC .

Suy ra IH = IK.

1. Xét điểm D

D thuộc tia phân giác của góc A. suy ra DH=DK (khoảng cách từ D đến hai cạnh AB,AC)

D thuộc đường trung trực của BC suy ra DB = DC .

2. Xét hai tam giác vuông ∆DHB và ∆DKC

Có cảnh Huyền DB = DC( CM trên)

Có cạnh góc vuông DH=DK(CM trên)

Suy ra ∆DHB=∆DKC(cạnh huyền-cạnh góc vuông).

3. Kết luận : BH = CK( hai cạnh tương ứng).

Vì BE và CF là hai đường trung tuyến bằng nhau nên ∆ABC cân tại A.

Gọi M là trung điểm của BC . trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao, suy ra AM vuông góc với BC .

Vì G là trọng tâm nên A,G,M thẳng hàng. Vậy AG vuông góc với BC.

a) chứng minh BG = GM và CG= GN

Vì M thuộc tia DB sao cho DM =DG nên D là trung điểm của GM.

Khi đó: GM=GĐ+DM= 2GD. Mà BG =2GD nên BG =GM.

Vì M thuộc tia đối của tia EG sao cho EN= nên E là trung điểm của GN.

Khi đó: GN= GE + EN =2 GE. Mà CG =2 GE nên CG = GN.

b) chứng minh MN=BC và MN// BC

Xét ∆ GBC và ∆ GMN có:

BG =GM (CM trên).

Góc GBC= góc MGN (hai góc đối đỉnh).

CG =GN( CM trên)

Suy ra ∆ GBC=∆GMN (c.g.c)

Suy ra góc GBC= góc GMN (hai góc tương ứng). Vì hai góc này ở vị trí so le trong nênMN//BC.

a) chứng minh G là trọng tâm của ∆ EFC.

Trong ∆EFC, EK là đường trung tuyến ( do K là trung điểm CF)

BE=2ED suy ra BD =3ED . Theo đề bài, F thuộc tia đối của tia DE và BF=2BE=4ED.

Suy ra DF=BF -BD = 4ED - 3ED =ED. Do đó D là trung điểm của FE nên CD là đường trung tuyến thứ hai của ∆ EFC.

Vì G là giao điểm của EK và AC mà (AC chứa D), nên G là giao điểm của hai đường trung tuyến EK và CD.

Vậy G là trọng tâm của tam giác EFC.

b) tính các tỉ số

Dựa vào tính chất trọng tâm trong tam giác EFC:

GE/GK=2 (trọng tâm cách đình bằng 2 lần cách trung điểm cảnh đối diện).

GC/DC= 2/3 (trọng tâm cách đình bằng 2/3 độ dài trung tuyến ).

a)Chứng minh BD = CE

Xét ∆ABD và ∆ACE có:

AB = AC (GT).

Góc A chung .

AD = AE (do D,E lần lượt là trung điểm của hai cạnh bằng nhau AC và AB.)

Suy ra ∆ABD=∆ACE (c.g.c).

Suy ra BD =CA.

b) Chứng minh ∆GBC cân .

Vì ∆ABD =∆ACE, (CM trên) nên góc ABD =góc ACE

Mà ∆ABC cân tại A nên góc ABC = góc ACB.

Ta có:

Góc GBC = góc ABC-ABD.

Góc GCB=góc ACB-góc ACE

Suy ra góc GBC=gócGCB. Do đó ∆GBC cân tại G .

c) chứng minh GD+GE >1/2 BC

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên :

GĐ =1/2 GB và GE = 1/2 GC ( đó GĐ =1/3 BD, GB = 2/3 BD).

Chồng ∆GBC , theo bất đẳng thức tam giác ta có:

GB+GC>BC.

Thấy GB =2GD và GC = 2GE vào:

2GD+2GE>BC.

Suy ra 2 ( GĐ+GE)>BC suy ra GD+GE> 1/2BC (đpcm).

Vì BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên gờ là trọng tâm của ∆ ABC. Theo t/c trọng tâm, ta có:

BG = 2/3 BM và CG=2/3 CN.

Theo bất đẳng thức tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại:

BG+CG>BC.

2/3 BM+2/3 CN>BC.

2/3( BM+CN) >BC.

BM + CN > 2/3 BC( đpcm).