a, xét tam giác ABC và tam giác ACE

có: AB = AC do tam giác ABC cân tại A

góc A là góc chung

AD = 1/2 AC và AE = 1/2 AB (do BD là trung tuyến)

vì AB = AC nên AD = AE

do đó tam giác ABD bằng tam giác ACE ( c.g .c )

suy,ra BD = CE (hai cạnh tương ứng)

b, xét tam giác ACB và tam giác ABC

ta có EC = BD (chứng minh trên)

góc B bằng góc C hai góc đáy của tam giác ABC cân tại A

BC cạnh chung

suy ra góc GBC bằng góc GCB(hai góc tương ứng )

vì tam giác GBC có góc GBC= góc GCB

nên tam giác cân BC là một tam giác cân tại G

c, vì G là trọng tâm nên ta có

GD = 1/3 BD và GE = 1/3 CE

Do đó GD + GE =1/3 BD + 1/3 CE = 1/3( BD + CE)

mà BD = CE suy ra BD + CE = 2 BD

suy ra GD + GE = 1/3 x 2 BD = 2/3 BD

trong đó tam giác ABC đường trung tuyến nhỏ hơn cạnh đối diện

suy ra BD >BC

suy ra 2/3 BD > 2/3 x 1/2 BC= 1/3 BC

vì 2/3 BD > 1/2 BC

suy ra GD + GE = 2/3 BD > 1/2 BC suy ra GD + GE > 1/2 BC

Xét tam giác ABC có :BM, CN là trung tuyến cắt nhau tại G

suy ra G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra BM = 2/3 BG ,CN = 3/2 CG

suy ra BM + CN = 3/2 (BG + CG )

Xét tam giác CGB : BG + GC >BC (bất đẳng thức tam giác)

suy ra BM + CN > 3/2 BC

a,Vì ∆ ABC cân nên:

Góc ABC=góc ABC

Vậy ∆ OBC cân tại O

b, vì O là giao điểm các tia phân giác CB và PQ trong tam giác ABC nên Ở là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác ABC do đó o cắt đều ba cạnh của tam giác ABC

c, ta có tam giác ABC cân tại A , AO là tia phân giác từ đỉnh A ,nên gọi AO đồng thời là trung tuyến và đường cao của tam giác ABC

-Đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó

d, ∆ OBC =∆ QCS ( g.c.g)

Suy ra CP= BQ

e, từ ý d,ta suy ra AP = AQ

vậy tam giác ABC cân tại A

a, ∆ OAD =∆ OCB ( c.g.c)

Suy ra AD= CB

b, Do OA= OC,OB= OD

Suy ra AB=CD

Lại có ∆ OAD= ∆ OCB( c.g.c)

Suy ra góc OBC= góc ODA .suy ra góc ABE =góc CDE

Mà góc OAD =góc OCB

Vậy ∆ ABE =∆ CDE ( g.c.g)

c, vì ∆ ABE= ∆ CDE ( g.c.g)

Suy ra góc BOE= góc DOE

Vậy OE là tia phân giác của góc xOy

a,Vì OM là tia phân giác của góc xOy

Góc IOE = góc IOF=1/2 góc EOF

Vì { IE vuông góc Ox, IF vuông góc Oy ( Gt)

Suy ra góc IOE= góc IFO=90°

Xét ∆ IOE và ∆ IOF có:

Góc IEO và góc IFO có:

- góc IEO= góc IFO=90°

-góc IOE= góc IOF ( chứng minh trên)

- OI chung

b, vì ∆ IOE = ∆ IOF( cm trên)

IE= OF ( 2 cạnh tương ứng)

Xét ∆ EOF có:

IE= OF ( cm trên)

Vậy ∆ EOF cân tại Oe

Ta có:

- góc BAD= góc DAC= 120/2=60 ( AD là tia phân giác)

- kẻ tia đối Ax của AB : suy ra góc xAC =180°-120°=60°

-Suy ra góc xAC= góc CAD = 60° vậy AC là tia phân giác ngoài tại A của ∆ABD

Xét ∆ ABD có I là giao điểm của hai tia phân giác ngoài ( tại A và D)

Suy ra Ở thuộc tia phân giác của góc ABD( hay góc ABC)

Vì I thuộc tia phân giác góc ABC nên I cách đều 2 cạnh AB và BC

Mà IH vuông góc AB, IK vuông góc BC

Suy ra IH= IK

Xét ∆ ADH và ∆ADK vuông tại H và K:

-Cạnh huyền AD chung.

- Góc HAD = góc KAD ( vì AD là tia phân giác của góc A)

-Suy ra ∆ ADH=∆ADK( cạnh huyền - góc nhọn)

- vậy DH= DK ( hai cạnh tương ứng)

Xét điểm D trên đường trung trực của BC:

- DB= DC ( tính chất)

Xét 2 tam giác vuông ∆ DHB và ∆ DK:

-DB= DC ( chứng minh trên)

- DH=DK ( chứng minh trên)

- suy ra ∆ DHB=∆ DKC ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Vậy BH= CK ( hai cạnh tương ứng)