a) Chứng minh rằng \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right)\).

- Chứng minh \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right)\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(A D\) nên \(\overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M D} = \overset{\rightarrow}{0}\).

Vì \(N\) là trung điểm của \(B C\) nên \(\overset{\rightarrow}{B N} + \overset{\rightarrow}{C N} = \overset{\rightarrow}{0}\).
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

\(\left{\right. \overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B N} \\ \overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{M D} + \overset{\rightarrow}{D C} + \overset{\rightarrow}{C N}\) \(\Rightarrow 2 \overset{\rightarrow}{M N} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M D} \left.\right) + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{C D} + \left(\right. \overset{\rightarrow}{B N} + \overset{\rightarrow}{C N} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0} + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{C D} + \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{C D} .\) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) .\)

- Chứng minh \(\frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right) .\) \(\left{\right. \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{C B} = \overset{\rightarrow}{D B} = \overset{\rightarrow}{C D} + \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} + \overset{\rightarrow}{C B} + \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \Rightarrow .\)

Vậy: \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right)\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(M N\). Chứng minh rằng: \(\overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I C} + \overset{\rightarrow}{I D} = \overset{\rightarrow}{0}\).

Áp dụng hệ thức trung điểm, ta có:

\(\left{\right. \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I D} = 2 \overset{\rightarrow}{I M} \\ \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I D} = 2 \overset{\rightarrow}{I N} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I D} + \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I D} = 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{I M} + \overset{\rightarrow}{I N} \left.\right) = \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; 2. \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{0} .\)

a) Chứng minh rằng \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right)\).

- Chứng minh \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right)\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(A D\) nên \(\overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M D} = \overset{\rightarrow}{0}\).

Vì \(N\) là trung điểm của \(B C\) nên \(\overset{\rightarrow}{B N} + \overset{\rightarrow}{C N} = \overset{\rightarrow}{0}\).
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

\(\left{\right. \overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B N} \\ \overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{M D} + \overset{\rightarrow}{D C} + \overset{\rightarrow}{C N}\) \(\Rightarrow 2 \overset{\rightarrow}{M N} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M D} \left.\right) + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{C D} + \left(\right. \overset{\rightarrow}{B N} + \overset{\rightarrow}{C N} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0} + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{C D} + \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{C D} .\) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) .\)

- Chứng minh \(\frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right) .\) \(\left{\right. \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{C B} = \overset{\rightarrow}{D B} = \overset{\rightarrow}{C D} + \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} + \overset{\rightarrow}{C B} + \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \Rightarrow .\)

Vậy: \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right)\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(M N\). Chứng minh rằng: \(\overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I C} + \overset{\rightarrow}{I D} = \overset{\rightarrow}{0}\).

Áp dụng hệ thức trung điểm, ta có:

\(\left{\right. \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I D} = 2 \overset{\rightarrow}{I M} \\ \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I D} = 2 \overset{\rightarrow}{I N} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I D} + \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I D} = 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{I M} + \overset{\rightarrow}{I N} \left.\right) = \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; 2. \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{0} .\)

a) AC + BD = AD + BC = 2EF

• AC⃗+BD⃗=(OC⃗−OA⃗)+(OD⃗−OB⃗)=(OD⃗−OA⃗)+(OC⃗−OB⃗)=AD⃗+BC⃗.
• E,F là trung điểm: OE⃗=OA⃗+OB⃗2, OF⃗=OC⃗+OD⃗2. EF⃗=OF⃗−OE⃗=OC⃗+OD⃗−OA⃗−OB⃗2=AD⃗+BC⃗2. Suy ra 2EF⃗=AD⃗+BC⃗=AC⃗+BD⃗.

b) GA + GB + GC + GD = 0

• G là trung điểm EF: OG⃗=OE⃗+OF⃗2=OA⃗+OB⃗+OC⃗+OD⃗4.
• GA⃗+GB⃗+GC⃗+GD⃗=∑(OA⃗−OG⃗)=(OA⃗+OB⃗+OC⃗+OD⃗)−4OG⃗=0.

Các bước trên đúng chuẩn kiến thức học kì 1: cộng trừ vectơ, trung điểm, và quy tắc hình bình hành. Nếu bạn muốn, mình có thể chuyển sang cách chứng minh hình học thuần (không dùng tọa độ gốc O).