Nguyễn Hữu Bảo
Giới thiệu về bản thân
Gọi các vectơ vị trí của các đỉnh là A, B, C (theo một gốc tùy ý). Ta cần chứng minh
a IA⃗+b IB⃗+c IC⃗=0,tức là
a(A−I)+b(B−I)+c(C−I)=0 ⟺ (aA+bB+cC)−(a+b+c)I=0.Đặt gốc tọa độ tại O. Gọi các vectơ vị trí:
- OA = a, OB = b, OC = c với |a| = |b| = |c| (cùng bán kính).
- Gọi OH = h. Khi đó GA, GB, GC không cần dùng trực tiếp ở phần (b).
Một đẳng thức cơ bản của trọng tâm: với mọi điểm X,
XA⃗+XB⃗+XC⃗=3 XG⃗.Đặc biệt, với X = O ta có
OA⃗+OB⃗+OC⃗=3 OG⃗.(∗)b) Chứng minh OA + OB + OC = OH
Vì |a|=|b|=|c|, ta có
(b+c)⋅(b−c)=∣b∣2−∣c∣2=0,nên b + c vuông góc với BC (vì BC có hướng c − b). Do đó đường thẳng qua A có vectơ chỉ phương b + c chính là đường cao từ A. Tương tự, các đường cao từ B, C có vectơ chỉ phương c + a, a + b.
Giao điểm ba đường cao (trực tâm) có vectơ vị trí
h=a+b+c.Suy ra
OA⃗+OB⃗+OC⃗=a+b+c=h=OH⃗.c) Hệ thức GH + 2 GO = 0
Từ (∗) và b), ta có
OH⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗=3 OG⃗.Đặt g = OG, h = OH (với gốc tại O), thì h = 3g. Khi đó
GH⃗=h−g=3g−g=2g,GO⃗=−g.Suy ra
GH⃗+2 GO⃗=2g+2(−g)=0.Gọi các vectơ vị trí của A, B, C lần lượt là a, b, c; của A₁, B₁, C₁ lần lượt là a₁, b₁, c₁. Trọng tâm chung G thỏa
g=a+b+c3=a1+b1+c13.Các trọng tâm:
- G₁ là trọng tâm tam giác BCA₁: g1=b+c+a13.
- G₂ là trọng tâm tam giác ABC₁: g2=a+b+c13.
- G₃ là trọng tâm tam giác ACB₁: g3=a+c+b13.
Tính tổng GG₁ + GG₂ + GG₃
Ta có
GG1→=g1−g=b+c+a13−g,GG2→=g2−g=a+b+c13−g,GG3→=g3−g=a+c+b13−g.Cộng ba vectơ:
GG1→+GG2→+GG3→=(b+c+a1)+(a+b+c1)+(a+c+b1)3−3g=2(a+b+c)+(a1+b1+c1)3−3g.Vì a+b+c=a1+b1+c1=3g, nên
2⋅3g+3g3−3g=9g3−3g=3g−3g=0.Do đó GG1→+GG2→+GG3→=0.
Phương trình tham số các đường thẳng:
- AA′: X = t(b + c − m), t ∈ ℝ (vì A là gốc 0, A′ ↔ b + c − m).
- BB′: X = b + s(c − m − b), s ∈ ℝ.
- CC′: X = c + u(b − m − c), u ∈ ℝ.
Xét giao điểm N của AA′ và BB′: tìm t, s sao cho t(b + c − m) = b + s(c − m − b). Chọn t = s = 1/2, ta được N = 1/2(b + c − m).
Kiểm tra với CC′: N − c = 1/2(b + c − m) − c = 1/2(b − m − c) = 1/2·(b − m − c), nên N thuộc CC′.
Vậy ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng quy tại N với vectơ vị trí n = 1/2(a + b + c − m) (trong thiết lập a = 0, tức n = 1/2(b + c − m); viết lại tổng quát theo điểm A là n = (a + b + c − m)/2).
b) Chứng minh MN luôn đi qua trọng tâm G
Trọng tâm tam giác ABC có vectơ vị trí g = (a + b + c)/3.
Ta xét hai vectơ cùng gốc M:
- M → N: n − m = (a + b + c − m)/2 − m = (a + b + c − 3m)/2.
- M → G: g − m = (a + b + c)/3 − m = (a + b + c − 3m)/3.
Rõ ràng g − m = (2/3)(n − m), nên G nằm trên đường thẳng MN và chia đoạn MN theo tỉ số MG : GN = 2 : 1 (G gần N hơn M).
Kết luận: với mọi vị trí của M, ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ luôn đồng quy tại N = (a + b + c − m)/2, và đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
- Từ IA⃗+3IC⃗=0: IA⃗=−AI⃗, IC⃗=AC⃗−AI⃗.
Vậy I nằm trên AC với AI=34AC.
- Từ JA⃗+2JB⃗+3JC⃗=0: JA⃗=−AJ⃗, JB⃗=AB⃗−AJ⃗, JC⃗=AC⃗−AJ⃗.
Chứng minh I, J, B thẳng hàng
Tính các vectơ BI⃗ và BJ⃗:
BI⃗=AI⃗−AB⃗=34c−b,BJ⃗=AJ⃗−AB⃗=16(2b+3c)−b=−23b+12c.So sánh tỉ số hệ số theo b và c:
−23−1=1234=23.Suy ra BJ⃗=23 BI⃗. Hai vectơ cùng phương và cùng gốc tại B, nên ba điểm I,J,B thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD, trên tia AB lấy điểm E sao cho AB = 1/2 AE, tức AE = 2 AB. Trên tia AD lấy điểm F sao cho AD = 1/2 AF, tức AF = 2 AD. Suy ra E là điểm sao cho A là trung điểm của BE, và F là điểm sao cho A là trung điểm của DF (vì AE = 2 AB nên AB = 1/2 AE ⇒ A là trung điểm của BE; tương tự AD = 1/2 AF ⇒ A là trung điểm của DF).
Ta dùng vectơ với gốc tại A: đặt AB = b, AD = d. Khi đó:
- AC = AB + AD = b + d.
- Vì AE = 2 AB ⇒ AE = 2b.
- Vì AF = 2 AD ⇒ AF = 2d.
- Tọa độ/vectơ vị trí: B ↔ b, D ↔ d, C ↔ b + d, E ↔ 2b, F ↔ 2d.
a) Chứng minh F, C, E thẳng hàng
Ta tính các vectơ EC và CF:
- EC = AC − AE = (b + d) − 2b = d − b.
- CF = AF − AC = 2d − (b + d) = d − b.
Suy ra EC = CF, hai vectơ cùng phương. Vì E, C, F thoả EC và CF cùng phương và chung điểm C, ba điểm F, C, E thẳng hàng.
Một cách nhìn khác: điểm E là ảnh của B qua phép vị tự tâm A tỉ số 2; điểm F là ảnh của D qua phép vị tự tâm A tỉ số 2. Do đó đoạn EF là ảnh của BD qua phép vị tự này, mà BD // AC trong hình bình hành, nên EF // BD // AC, suy ra E, C, F thẳng hàng.
b) Chứng minh BDCE và BDFC là hình bình hành
Với tứ giác BDCE
- Ta có EC = d − b như trên.
- Đồng thời BD = D − B = d − b.
- Vậy EC = BD. Hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau: EC // BD và EC = BD. Do đó BDCE là hình bình hành.
Cũng có thể thấy vectơ CE = b − d và vectơ DB = b − d, nên CE = DB. Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau và song song là hình bình hành.
- Ta có CF = d − b như trên.
- Đồng thời BD = d − b.
- Vậy CF = BD. Suy ra BD // CF và BD = CF. Do đó BDFC là hình bình hành.
Tương tự, vectơ FC = b − d và vectơ DB = b − d, nên FC = DB, thỏa điều kiện hình bình hành.
- Ba điểm F, C, E thẳng hàng vì EC = CF.
- Hai tứ giác BDCE và BDFC là hình bình hành vì mỗi tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (BD = EC và BD = CF).
Gọi AB⃗=b, AC⃗=c. Với mọi điểm X, kí hiệu AX⃗ là vectơ vị trí của X theo gốc tại A.
- Điểm I: Điều kiện IB⃗=2IC⃗.
Ta có IB⃗=AB⃗−AI⃗=b−AI⃗, IC⃗=AC⃗−AI⃗=c−AI⃗. Phương trình:
- Điểm J: Điều kiện JC⃗=−12JA⃗.
Ta có JC⃗=AC⃗−AJ⃗=c−AJ⃗, JA⃗=−AJ⃗. Phương trình:
- Điểm K: Điều kiện KA⃗=−KB⃗.
Ta có KA⃗=−AK⃗, KB⃗=AB⃗−AK⃗=b−AK⃗. - IJ⃗=AJ⃗−AI⃗=(23c)−(2c−b)=b−43c.
Vậy IJ⃗=AB⃗−43AC⃗. - IK⃗=AK⃗−AI⃗=(12b)−(2c−b)=32b−2c.
Vậy IK⃗=32AB⃗−2AC⃗.
Ta có
321=−2−43=32,nên
IK⃗=32 IJ⃗.Hai vectơ xuất phát từ cùng điểm I và cùng phương, do đó ba điểm I,J,K thẳng hàng.
Gọi các vectơ vị trí theo gốc tại A: đặt AB⃗=b, AC⃗=c. Khi đó BC⃗=AC⃗−AB⃗=c−b.
Từ điều kiện điểm M: BC⃗+MA⃗=0. Suy ra MA⃗=−(c−b)=b−c. Do đó AM⃗=−MA⃗=c−b.
Từ điều kiện điểm N: AB⃗−NA⃗−3AC⃗=0. Suy ra NA⃗=AB⃗−3AC⃗=b−3c. Do đó AN⃗=−NA⃗=−b+3c.
Xét vectơ MN⃗:
MN⃗=AN⃗−AM⃗=(−b+3c)−(c−b)=2c=2AC⃗.Vì MN⃗ là bội số của AC⃗, hai vectơ cùng phương nên MN // AC.
- Trung điểm I của AM: Vì I là trung điểm của AM và M là trung điểm của BC nên
- Điểm K trên AC với AK=13AC: Ta có AC→=AB→+BC→, nên
Suy ra
BK→=BA→+AK→=BA→+13AB→+13BC→=23BA→+13BC→.- So sánh tỉ lệ:
Vì BI→ là bội số của BK→, hai vectơ cùng phương, nên ba điểm B,I,K thẳng hàng.
- Trung điểm I của AM: Vì I là trung điểm của AM và M là trung điểm của BC nên
- Điểm K trên AC với AK=13AC: Ta có AC→=AB→+BC→, nên
Suy ra
BK→=BA→+AK→=BA→+13AB→+13BC→=23BA→+13BC→.- So sánh tỉ lệ:
Vì BI→ là bội số của BK→, hai vectơ cùng phương, nên ba điểm B,I,K thẳng hàng.