Ba điểm M, N, G luôn thẳng hàng, do đó đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của 

△ABC△𝐴𝐵𝐶

.Tương tự, ta có 

BB′⃗=2BN⃗𝐵𝐵′⃗=2𝐵𝑁⃗

và 

CC′⃗=2CN⃗𝐶𝐶′⃗=2𝐶𝑁⃗

, chứng tỏ N cũng là trung điểm của BB' và CC'. 
Vậy ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy tại một điểm N.

b) G là trọng tâm tam giác ABC => AG/AK =2/3

Lại có AK là trung tuyến của tam giác AMA’ => G cũng là trọng tâm của tam giác AMA’.

Xét tam giác AMA’ có MN là trung tuyến.

=> MN đi qua G.

Gọi \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} lần lượt là các vectơ vị trí của A, B, C.

1. Biểu diễn vectơ các điểm A', B', C'

Vì A' thuộc AB và

\frac{AA'}{AB}=k

nên

\vec{A'}=\vec{A}+k(\vec{B}-\vec{A})=(1-k)\vec{A}+k\vec{B}

Tương tự:

\vec{B'}=(1-k)\vec{B}+k\vec{C}

\vec{C'}=(1-k)\vec{C}+k\vec{A}

Vectơ trọng tâm G' của tam giác A'B'C' là:

\vec{G'}=\frac{\vec{A'}+\vec{B'}+\vec{C'}}{3}

Thay các biểu thức vào:

\vec{A'}+\vec{B'}+\vec{C'} = (1-k)(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}) + k(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})

= \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}

Suy ra:

\vec{G'}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}

\vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}

Do đó:

\vec{G'}=\vec{G}