\(\overset{\rightarrow}{C}\)
Mà \(A K = \frac{1}{3} A C\) nên \(K C = 2 K A\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{K C} = - 2 \overset{\rightarrow}{K A} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{K C} + 2 \overset{\rightarrow}{K A} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{K C} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{K A} = \overset{\rightarrow}{0} .\)
Do đó \(\overset{\rightarrow}{B I} = \frac{3}{4} \overset{\rightarrow}{B K} + \overset{\rightarrow}{0} = \frac{3}{4} \overset{\rightarrow}{B K}\). Vậy ba điểm \(B , I , K\) thẳng hàng.

\(\overset{\rightarrow}{C}\)
Mà \(A K = \frac{1}{3} A C\) nên \(K C = 2 K A\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{K C} = - 2 \overset{\rightarrow}{K A} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{K C} + 2 \overset{\rightarrow}{K A} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{K C} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{K A} = \overset{\rightarrow}{0} .\)
Do đó \(\overset{\rightarrow}{B I} = \frac{3}{4} \overset{\rightarrow}{B K} + \overset{\rightarrow}{0} = \frac{3}{4} \overset{\rightarrow}{B K}\). Vậy ba điểm \(B , I , K\) thẳng hàng.

\(\overset{\rightarrow}{C}\)
Mà \(A K = \frac{1}{3} A C\) nên \(K C = 2 K A\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{K C} = - 2 \overset{\rightarrow}{K A} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{K C} + 2 \overset{\rightarrow}{K A} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{K C} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{K A} = \overset{\rightarrow}{0} .\)
Do đó \(\overset{\rightarrow}{B I} = \frac{3}{4} \overset{\rightarrow}{B K} + \overset{\rightarrow}{0} = \frac{3}{4} \overset{\rightarrow}{B K}\). Vậy ba điểm \(B , I , K\) thẳng hàng.

Ta có \(\overset{\rightarrow}{B C} + \overset{\rightarrow}{M A} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{M A} = - \overset{\rightarrow}{B C}\)nên \(M A / / B C\).
Do đó \(M \notin A C\) (1).
Ta có \(\overset{\rightarrow}{A B} - \overset{\rightarrow}{N A} - 3 \overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{A B} - \left(\right. \overset{\rightarrow}{N M} + \overset{\rightarrow}{M A} \left.\right) - 3 \overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{A B} - \overset{\rightarrow}{N M} - \overset{\rightarrow}{M A} - 3 \overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{N M} = \overset{\rightarrow}{A B} - \overset{\rightarrow}{M A} - 3 \overset{\rightarrow}{A C}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{N M} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} - 3 \overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{A C} - 3 \overset{\rightarrow}{A C} = - 2 \overset{\rightarrow}{A C}\) (2).
Từ \(\left(\right. 1 \left.\right) , \left(\right. 2 \left.\right)\) ta có \(M N / / A C\).

Ta có:

−→IB=2−→IC⇔−→IB=2(−→IB+−−→BC)⇔−−→IB=2−−→BC⇔−→BI=2−−→BC

−→JC=−12−→JA⇔−→JB+−−→BC=−12(−→JB+−−→BA)⇔32−→JB=−12−−→BA−−−→BC⇔−→JB=−13−−→BA−23−−→BC

⇒−→BJ=13−−→BA+23−−→BC

⇒−→IJ=−→BJ−−→BI=13−−→BA+23−−→BC−2−−→BC=13−−→BA−43−−→BC

−−→KA=−−−→KB⇔−−→KB+−−→BA=−−−→KB⇔2−−→KB=−−−→BA⇒2−−→BK=−−→BA⇒−−→BK=12−−→BA

⇒−−→JK=−−→BK−−→BJ=12−−→BA−13−−→BA−23−−→BC=16−−→BA−23−−→BC=12(13−−→BA−43−−→BC)=12−→IJ 

Vậy I,J,K thẳng hàng

a)

Vì FE=2FC,ba điểm F,C,E thẳng hàng

b)

Vì EC=BD,tứ giác BDCE là hình bình hành 

Vì BC=DF , tứ giác BDCF là hình bình hành

IA+3IC=0⇒IJ+JA+3(IJ+JC)=0

\(\Leftrightarrow 4 \overset{\rightarrow}{I J} + \overset{\rightarrow}{J A} + + 3 \overset{\rightarrow}{J C} = 0\)

Có \(\overset{\rightarrow}{J A} + 2 \overset{\rightarrow}{J B} + 3 \overset{\rightarrow}{J C} = 0\)

Trừ vế cho vế

\(\Rightarrow 4 \overset{\rightarrow}{I J} = 2 \overset{\rightarrow}{B J} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{B J} = 2 \overset{\rightarrow}{I J}\)

=> 3 điểm I,J,B thẳng hàng

Ba điểm M, N, G luôn thẳng hàng, do đó đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của 

△ABC△𝐴𝐵𝐶

.Tương tự, ta có 

BB′⃗=2BN⃗𝐵𝐵′⃗=2𝐵𝑁⃗

và 

CC′⃗=2CN⃗𝐶𝐶′⃗=2𝐶𝑁⃗

, chứng tỏ N cũng là trung điểm của BB' và CC'. 
Vậy ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy tại một điểm N.

b) G là trọng tâm tam giác ABC => AG/AK =2/3

Lại có AK là trung tuyến của tam giác AMA’ => G cũng là trọng tâm của tam giác AMA’.

Xét tam giác AMA’ có MN là trung tuyến.

=> MN đi qua G.

Ba điểm M, N, G luôn thẳng hàng, do đó đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của 

△ABC△𝐴𝐵𝐶

.Tương tự, ta có 

BB′⃗=2BN⃗𝐵𝐵′⃗=2𝐵𝑁⃗

và 

CC′⃗=2CN⃗𝐶𝐶′⃗=2𝐶𝑁⃗

, chứng tỏ N cũng là trung điểm của BB' và CC'. 
Vậy ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy tại một điểm N.

b) G là trọng tâm tam giác ABC => AG/AK =2/3

Lại có AK là trung tuyến của tam giác AMA’ => G cũng là trọng tâm của tam giác AMA’.

Xét tam giác AMA’ có MN là trung tuyến.

=> MN đi qua G.

Ba điểm M, N, G luôn thẳng hàng, do đó đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của 

△ABC△𝐴𝐵𝐶

.Tương tự, ta có 

BB′⃗=2BN⃗𝐵𝐵′⃗=2𝐵𝑁⃗

và 

CC′⃗=2CN⃗𝐶𝐶′⃗=2𝐶𝑁⃗

, chứng tỏ N cũng là trung điểm của BB' và CC'. 
Vậy ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy tại một điểm N.

b) G là trọng tâm tam giác ABC => AG/AK =2/3

Lại có AK là trung tuyến của tam giác AMA’ => G cũng là trọng tâm của tam giác AMA’.

Xét tam giác AMA’ có MN là trung tuyến.

=> MN đi qua G.