Gọi t là tổng thời gian rơi tự do của viên đá, tính bằng giây.

Vật được thả rơi tự do nên vận tốc ban đầu v0= 0Gia tốc rơi tự do là g = 9,8 m/s².

Quãng đường vật rơi được trong thời gian t là:

Quãng đường vật rơi được trong thời gian t-1 (trước giây cuối cùng) là:

Quãng đường vật rơi được trong giây cuối cùng là hiệu quãng đường rơi trong thời gian t và quãng đường rơi trong thời gian t-1:

Theo đề bài, quãng đường rơi trong giây cuối cùng là 14,7 m.

Thay giá trị g = 9,8 m/s² vào phương trình

Giải phương trình tìm t:

Vậy, thời gian rơi tự do của viên đá là 2 giây.

Gọi t là tổng thời gian rơi tự do của viên đá, tính bằng giây.

Vật được thả rơi tự do nên vận tốc ban đầu v0= 0Gia tốc rơi tự do là g = 9,8 m/s².

Quãng đường vật rơi được trong thời gian t là:

Quãng đường vật rơi được trong thời gian t-1 (trước giây cuối cùng) là:

Quãng đường vật rơi được trong giây cuối cùng là hiệu quãng đường rơi trong thời gian t và quãng đường rơi trong thời gian t-1:

Theo đề bài, quãng đường rơi trong giây cuối cùng là 14,7 m.

Thay giá trị g = 9,8 m/s² vào phương trình

Giải phương trình tìm t:

Vậy, thời gian rơi tự do của viên đá là 2 giây.

Đổi các vận tốc:

Gia tốc của xe:

a.Thời gian để xe đạt vận tốc 36 km/h:

b.Thời gian để xe dừng hẳn:

c.Quãng đường xe đi được đến khi dừng lại:

Vậy:

• a. Sau khoảng 26.67 giây thì ô tô đạt vận tốc 36 km/h.

• b. Sau 60 giây thì ô tô dừng hẳn.

• c. Quãng đường ô tô đi được cho đến lúc dừng lại là 540 mét.

Gọi x là thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh (tính bằng phút).

Gọi y là thời lượng quảng cáo trên sóng truyền hình (tính bằng phút).

Dựa vào đề bài, ta có các thông tin sau:

1. Chi phí quảng cáo:

◦ Phát thanh: 800 000 đồng/phút.

◦ Truyền hình: 4 000 000 đồng/phút.

2. Điều kiện về thời lượng:

◦ Phát thanh: x ≥ 5 phút.

◦ Truyền hình: 0 < y ≤ 4 phút (vì truyền hình chỉ nhận các chương trình dài tối đa 4 phút và cần có thời lượng để quảng cáo).

3. Hiệu quả: Hiệu quả của 1 phút quảng cáo trên truyền hình gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Nếu coi hiệu quả của 1 phút phát thanh là E, thì hiệu quả của 1 phút truyền hình là 6E.

4. Ngân sách: Tổng chi phí tối đa là 16 000 000 đồng.

Mục tiêu của công ty là tối đa hóa hiệu quả quảng cáo. Tổng hiệu quả sẽ là:

H(x,y) = x ⋅ E + y ⋅ 6E = E(x + 6y)

Để tối đa hóa hiệu quả H(x,y), ta chỉ cần tối đa hóa biểu thức F(x,y) = x + 6y, với E > 0.

Ta có các ràng buộc sau:

• Ràng buộc về ngân sách:

800,000x + 4,000,000y ≤ 16,000,000

Chia cả hai vế cho 800,000, ta được:

x + 5y ≤ 20 (1)

• Ràng buộc về thời lượng phát thanh:

x ≥ 5 (2)

• Ràng buộc về thời lượng truyền hình:

0 < y ≤ 4 (3)

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x,y) = x + 6y thỏa mãn các ràng buộc trên. Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính. Chúng ta sẽ tìm các điểm cực của miền ràng buộc.

Xét các đường biên của miền ràng buộc:

1. x = 5

2. y = 4

3. x + 5y = 20

Tìm giao điểm của các đường biên thỏa mãn các bất đẳng thức:

• Giao điểm của x = 5 và x + 5y = 20:

Thay x = 5 vào phương trình x + 5y = 20:

5 + 5y = 20

5y = 15

y = 3

Điểm này là (5,3). Kiểm tra điều kiện (3): 0 < 3 ≤ 4. Điều kiện (2): 5 ≥ 5. Điều kiện (1): 5 + 5(3) = 20 ≤ 20. Điểm (5,3) là một điểm khả thi.

Giá trị hàm mục tiêu tại (5,3): F(5,3) = 5 + 6(3) = 5 + 18 = 23.

• Giao điểm của y = 4 và x + 5y = 20:

Thay y = 4 vào phương trình x + 5y = 20:

x + 5(4) = 20

x + 20 = 20

x = 0

Điểm này là (0,4). Kiểm tra điều kiện (2): 0 ≥ 5 (Không thỏa mãn). Điểm này không nằm trong miền khả thi.

• Giao điểm của x = 5 và y = 4:

Điểm này là (5,4). Kiểm tra điều kiện (1): 5 + 5(4) = 5 + 20 = 25. 25 ≤ 20 (Không thỏa mãn). Điểm này không nằm trong miền khả thi.

Ngoài ra, ta cần xem xét các trường hợp biên khác.

Miền khả thi được giới hạn bởi các đường x = 5, y = 4, x + 5y = 20 và y > 0.

Điểm cực duy nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện là (5,3).

Tại điểm (5,3):

• Thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là x = 5 phút.

• Thời lượng quảng cáo trên sóng truyền hình là y = 3 phút.

Tổng chi phí: 800,000\times 5+4,000,000\times 3=4,000,000+\\ 12,000,000=16,000,000 đồng (vừa đủ ngân sách).

Hiệu quả tương đối: F(5,3) = 5 + 6(3) = 23.

Nếu ta thử một điểm khác trong miền khả thi, ví dụ, giảm thời gian truyền hình và tăng thời gian phát thanh (mà vẫn đảm bảo x ≥ 5).

Giả sử y = 2. Để chi phí không vượt quá 16 triệu:

800,000x + 4,000,000(2) ≤ 16,000,000

800,000x + 8,000,000 ≤ 16,000,000

800,000x ≤ 8,000,000

x ≤ 10.

Với điều kiện x ≥ 5, ta có thể chọn x từ 5 đến 10.

Ví dụ, chọn x = 10,y = 2.

Chi phí: 800,000\times 10+4,000,000\times 2=8,000,000+\\ 8,000,000=16,000,000 đồng.

Hiệu quả tương đối: F(10,2) = 10 + 6(2) = 10 + 12 = 22.

Giá trị này (22) nhỏ hơn giá trị tại (5, 3) là 23. Điều này cho thấy việc phân bổ nhiều thời gian hơn cho truyền hình (trong giới hạn cho phép) là hiệu quả hơn.

Vì y bị giới hạn tối đa là 4, và x bị giới hạn tối thiểu là 5, cũng như ngân sách là 16 triệu, điểm (5,3) là điểm mà tại đó công ty sử dụng hết ngân sách và đáp ứng các điều kiện về thời lượng tối thiểu/tối đa. Hàm mục tiêu x + 6y có hệ số của y lớn hơn, nên việc tối ưu hóa sẽ ưu tiên tăng y nếu khả thi. Tại (5,3), y = 3 là giá trị cho phép. Nếu ta cố gắng tăng y lên 4, thì x sẽ giảm xuống 0 để nằm trong ngân sách, nhưng x phải ≥ 5.

Do đó, để đạt hiệu quả cao nhất, công ty nên phân bổ thời lượng như sau:

• Thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh: 5 phút.

• Thời lượng quảng cáo trên sóng truyền hình: 3 phút.

Đây là một bài toán tối ưu hóa tuyến tính. Ta sẽ giải bài này bằng phương pháp lập và giải bài toán quy hoạch tuyến tính.

1. Xác định biến:

◦ Gọi x là số kg sản phẩm loại I cần sản xuất.

◦ Gọi y là số kg sản phẩm loại II cần sản xuất.

2. Xây dựng hàm mục tiêu:

◦ Mục tiêu là tối đa hóa lợi nhuận. Hàm lợi nhuận Z được tính như sau:

Z = 40000x + 30000y

Ta cần tìm x và y sao cho Z đạt giá trị lớn nhất.

3. Xây dựng các ràng buộc:

◦ Ràng buộc về nguyên liệu:

2x + 4y ≤ 200

◦ Ràng buộc về thời gian:

30x + 15y ≤ 120

◦ Ràng buộc về số lượng sản phẩm (không âm):

x ≥ 0,y ≥ 0

4. Đơn giản hóa các ràng buộc:

◦ Ràng buộc về nguyên liệu:

x + 2y ≤ 100

◦ Ràng buộc về thời gian:

2x + y ≤ 8

5. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:

◦ Ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp đơn hình. Ở đây, tôi sẽ mô tả phương pháp đồ thị.

◦ Vẽ các đường thẳng tương ứng với các ràng buộc trên hệ trục tọa độ Oxy.

◦ Đường thẳng x + 2y = 100

◦ Đường thẳng 2x + y = 8

◦ Xác định miền chấp nhận được (miền mà tất cả các ràng buộc đều được thỏa mãn).

◦ Tìm các điểm cực biên của miền chấp nhận được.

◦ Tính giá trị của hàm mục tiêu Z = 40000x + 30000y tại mỗi điểm cực biên.

◦ Điểm cực biên nào cho giá trị Z lớn nhất thì đó là nghiệm tối ưu.

6. Tính toán cụ thể:

◦ Các điểm cực biên của miền chấp nhận được thường là giao điểm của các đường thẳng ràng buộc.

◦ Giao điểm của x + 2y = 100 và 2x + y = 8

Giải hệ phương trình:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle x+2y=100\\ \textstyle 2x+y=8\end{cases}\right.

Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle x+2y=100\\ \textstyle 4x+2y=16\end{cases}\right.

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

-3x = 84 ⇒ x = -28

Vì x không thể âm, nên giao điểm này không nằm trong miền chấp nhận được.

◦ Các điểm cực biên khác là:

◦ (0,0)

◦ (4,0) (giao điểm của 2x + y = 8 và y = 0)

◦ (0,50) (giao điểm của x + 2y = 100 và x = 0)

◦ Tính giá trị hàm mục tiêu tại các điểm cực biên:

◦ Tại (0,0): Z = 40000 ⋅ 0 + 30000 ⋅ 0 = 0

◦ Tại (4,0): Z = 40000 ⋅ 4 + 30000 ⋅ 0 = 160000

◦ Tại (0,50): Z = 40000 ⋅ 0 + 30000 ⋅ 50 = 1500000

◦ Tuy nhiên, điểm (4,0) và (0,50) không thỏa mãn đồng thời cả hai ràng buộc. Ta cần tìm giao điểm khác. Nhận thấy rằng, do x,y ≥ 0, miền nghiệm sẽ bị chặn bởi các trục tọa độ. Kiểm tra các điểm trên các trục này và giao điểm của các đường:

◦ Xét x = 0:

Từ x + 2y ≤ 100 suy ra 2y ≤ 100 ⇒ y ≤ 50.

Từ 2x + y ≤ 8 suy ra y ≤ 8.

Vậy y = 8 là giá trị lớn nhất có thể. Điểm (0,8).

Z = 40000 ⋅ 0 + 30000 ⋅ 8 = 240000

◦ Xét y = 0:

Từ x + 2y ≤ 100 suy ra x ≤ 100.

Từ 2x + y ≤ 8 suy ra 2x ≤ 8 ⇒ x ≤ 4.

Vậy x = 4 là giá trị lớn nhất có thể. Điểm (4,0).

Z = 40000 ⋅ 4 + 30000 ⋅ 0 = 160000

◦ Để tìm giao điểm chính xác của hai đường x + 2y = 100 và 2x + y = 8, ta giải lại hệ:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle x+2y=100\\ \textstyle 2x+y=8\end{cases}\right.

Nhân phương trình thứ hai với 2:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle x+2y=100\\ \textstyle 4x+2y=16\end{cases}\right.

Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới:

-3x = 84 ⇒ x = -28

Vì x không thể âm, có vẻ như đã có sai sót trong quá trình giải. Ta sẽ giải lại bằng phương pháp khác:

Từ 2x + y = 8 ⇒ y = 8-2x. Thay vào x + 2y = 100:

x+2(8-2x)=100\\ x+16-4x=100\\ -3x=84\\ x=-28

Vẫn cho kết quả âm. Điều này chỉ ra rằng không có giao điểm nào giữa hai đường này trong miền x,y ≥ 0.

7. Kết luận:

Vậy nên, ta xét các trường hợp biên.

◦ Nếu chỉ sản xuất sản phẩm loại II:

Với 200kg nguyên liệu, sản xuất được tối đa 200/4 = 50 kg sản phẩm loại II.

Với 120 giờ làm việc, sản xuất được tối đa 120/15 = 8 kg sản phẩm loại II.

Vậy, số lượng sản phẩm loại II tối đa là 8 kg. Lợi nhuận là 8 ⋅ 30000 = 240000 đồng.

◦ Nếu chỉ sản xuất sản phẩm loại I:

Với 200kg nguyên liệu, sản xuất được tối đa 200/2 = 100 kg sản phẩm loại I.

Với 120 giờ làm việc, sản xuất được tối đa 120/30 = 4 kg sản phẩm loại I.

Vậy, số lượng sản phẩm loại I tối đa là 4 kg. Lợi nhuận là 4 ⋅ 40000 = 160000 đồng.

Như vậy, để có mức lãi cao nhất, xưởng nên sản xuất 8 kg sản phẩm loại II và 0 kg sản phẩm loại I, với mức lãi là 240 000 đồng.

Ta có bất phương trình:

(x-y)(x^{3} + y^{3}) ≥ 0

(x-y)(x + y)(x^{2}-xy + y^{2}) ≥ 0

Vì x^{2}-xy + y^{2} = (x-\frac{y}{2})^{2} + \frac{3y^{2}}{4} > 0 với mọi x,y (trừ trường hợp x = y = 0, nhưng trường hợp này vẫn thỏa mãn bất phương trình), ta có thể chia cả hai vế cho x^{2}-xy + y^{2} mà không làm thay đổi dấu của bất phương trình:

(x-y)(x + y) ≥ 0

x^{2}-y^{2} ≥ 0

x^{2} ≥ y^{2}

|x| ≥ |y|

Vậy, miền nghiệm của bất phương trình là miền mà |x| ≥ |y|. Điều này tương đương với việc x ≥ y và x ≥ -y hoặc x ≤ y và x ≤ -y. Miền nghiệm này bao gồm các điểm nằm giữa hai đường thẳng y = x và y = -x, kể cả hai đường thẳng này.

Hệ bất phương trình thứ nhất:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle x+y-2\geq 0\\ \textstyle x-3y+3\leq 0\end{cases}\right.

Ta viết lại các bất phương trình dưới dạng chuẩn để dễ dàng biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ:

1. x + y-2 ≥ 0 ⟺ y ≥ -x + 2

Đường thẳng biên của bất phương trình này là d_{1}:y = -x + 2. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên và bao gồm đường thẳng d_{1}.

2. x-3y + 3 ≤ 0 ⟺ x + 3 ≤ 3y ⟺ y ≥ \frac{1}{3}x + 1

Đường thẳng biên của bất phương trình này là d_{2}:y = \frac{1}{3}x + 1. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên và bao gồm đường thẳng d_{2}.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (a) là giao của hai miền nghiệm trên. Để xác định rõ hơn, ta tìm giao điểm của hai đường thẳng d_{1} và d_{2}:

-x + 2 = \frac{1}{3}x + 1

2-1 = x + \frac{1}{3}x

1 = \frac{4}{3}x

x = \frac{3}{4}

Thay x = \frac{3}{4} vào phương trình y = -x + 2, ta có:

y = -\frac{3}{4} + 2 = \frac{5}{4}

Vậy, giao điểm của hai đường thẳng là (\frac{3}{4},\frac{5}{4}).

Miền nghiệm của hệ (a) là tập hợp các điểm (x,y) nằm phía trên hoặc trên cả hai đường thẳng y = -x + 2 và y = \frac{1}{3}x + 1.

b) Hệ bất phương trình thứ hai:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle x+y>0\\ \textstyle 2x-3y+6>0\\ \textstyle x-2y+1\geq 0\end{cases}\right.

Ta viết lại các bất phương trình dưới dạng chuẩn:

1. x + y > 0 ⟺ y > -x

Đường thẳng biên là d_{3}:y = -x. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên đường thẳng d_{3}, không bao gồm đường thẳng d_{3} (biên không lấy).

2. 2x-3y + 6 > 0 ⟺ 2x + 6 > 3y ⟺ y < \frac{2}{3}x + 2

Đường thẳng biên là d_{4}:y = \frac{2}{3}x + 2. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía dưới đường thẳng d_{4}, không bao gồm đường thẳng d_{4} (biên không lấy).

3. x-2y + 1 ≥ 0 ⟺ x + 1 ≥ 2y ⟺ y ≤ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}

Đường thẳng biên là d_{5}:y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía dưới và bao gồm đường thẳng d_{5} (biên lấy).

Miền nghiệm của hệ (b) là phần mặt phẳng thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện trên: nằm phía trên y = -x, phía dưới y = \frac{2}{3}x + 2, và phía dưới hoặc trên y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}. Để hình dung rõ hơn, ta cần vẽ đồ thị các đường thẳng biên và xác định miền tương ứng.

a.2x-y ≥ 0

Để xác định miền nghiệm của bất phương trình này, ta biến đổi bất phương trình về dạng đơn giản hơn để biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có:

2x-y ≥ 0

Chuyển y sang vế phải:

2x ≥ y

Hoặc viết lại là:

y ≤ 2x

Miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 2x là tất cả các điểm nằm trên đường thẳng y = 2x và tất cả các điểm nằm phía dưới đường thẳng y = 2x. Đường thẳng y = 2x đi qua gốc tọa độ (0,0).

b.

b) \frac{x-2y}{2} > \frac{2x+y+1}{3}

Để xác định miền nghiệm của bất phương trình này, ta quy đồng mẫu số và rút gọn:

Nhân cả hai vế của bất phương trình với 6 (bội chung nhỏ nhất của 2 và 3) để loại bỏ mẫu số:

6 × \frac{x-2y}{2} > 6 × \frac{2x+y+1}{3}

3(x-2y) > 2(2x + y + 1)

Phân phối các thừa số:

3x-6y > 4x + 2y + 2

Chuyển các hạng tử chứa x và y về một vế và hằng số về vế còn lại. Chuyển 4x sang trái và -6y sang phải:

3x-4x > 2y + 6y + 2

-x > 8y + 2

Để biểu diễn miền nghiệm, ta cần cô lập y. Chuyển 2 sang vế trái:

-x-2 > 8y

Chia cả hai vế cho 8:

\frac{-x-2}{8} > y

Hoặc viết lại là:

y < \frac{-x-2}{8}