Ta có \(A I = \frac{2 A O}{3} = \frac{2 R}{3}\) suy ra \(O I = R - \frac{2 R}{3} = \frac{R}{3}\)

\(\Delta O C I\) vuông tại \(O\), ta có:

\(C I = \sqrt{O C^{2} + O I^{2}} = \sqrt{R^{2} + \left(\right. \frac{R}{3} \left.\right)^{2}} = \frac{R \sqrt{10}}{3}\) nội tiếp đường tròn  có cạnh \(C D\) là đường kính

Suy ra \(\Delta C E D\) vuông tại \(E\)

Hai tam giác vuông \(O C I\) và \(C E D\) có \(\hat{C}\) :chung 

Suy ra \(\Delta C O I \sim \Delta C E D\)

Suy ra \(\frac{C O}{C E} = \frac{C I}{C D}\)

\(C E = \frac{C O . C D}{C I} = \frac{R . 2 R}{R \frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{6 R}{\sqrt{10}} = \frac{3 R \sqrt{10}}{5}\).

a) Gọi \(E , F\) là tiếp điểm của đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) với các cạnh \(A B , A C\)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(A E = A F ; B E = B D ; C D = C F\)

Do đó: \(2 B D = B D + B E = B C - C D + A B - A E\)

\(= B C + A B - \left(\right. C D + A E \left.\right) = B C + A B - \left(\right. C F + A F \left.\right)\)

\(= B C + A B - A C\) suy ra \(B D = \frac{B C + A B - A C}{2}\)

b) Tương tự câu a) ta có: \(D C = \frac{B C + A C - A B}{2}\) mà \(A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}\) (\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\)), do đó:

\(B D . D C = \frac{\left(\right. B C + A B - A C \left.\right) \left(\right. B C + A C - A B \left.\right)}{4}\)

\(\frac{B C^{2} - \left(\right. A B - A C \left.\right)^{2}}{4} = \frac{B C^{2} - A B^{2} - A C^{2} + 2 A B . A C}{4}\)

\(= \frac{A B . A C}{2} = S_{A B C}\).

Gọi \(D , E , F\) là tiếp điểm của đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) với \(A B\)

\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore ta có: \(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{9^{2} + 1 2^{2}} = 15\) cm

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(A D = A F ; B D = B E ; C E = C F\).

Do đó \(2 A D + 2 B E + 2 C E = A B + B C + C A = 9 + 12 + 15 = 36\)

\(2 A D + 2 B C = 36\)

\(A D = 3\) (cm) suy ra \(B D = 6\) (cm); \(D I = 3\) cm.

Gọi \(N = B I \cap A C\), ta có: \(\frac{B I}{B N} = \frac{B D}{B A} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{B G}{B M}\)

Suy ra \(I G\) // \(N M\) và \(I G = \frac{2}{3} N M\).

Ta có \(\diamond I D A F\) là hình vuông, có: \(\frac{B D}{B A} = \frac{D I}{A N} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(A N = 4 , 5\) cm.

Mà \(M\) là trung điểm của \(A C\) nên: \(N M = A M - A N = 6 - 4 , 5 = 1 , 5\) (cm) suy ra \(I G = 1\) cm.

Đường tròn \(\left(\right. I ; r \left.\right)\) tiếp xúc với các cạnh \(A B , A C , B C\) theo thứ tự \(M , N , P\).

Ta có: \(S_{A I B} = \frac{1}{2} I M . A B = \frac{1}{2} r . A B\) (1);

\(S_{A I C} = \frac{1}{2} I N . A C = \frac{1}{2} r . A C\) (2);

\(S_{B I C} = \frac{1}{2} r . B C\) (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3), ta được: \(\frac{S_{A I B} + S_{A I C} + S_{B I C}}{S_{A B C}} = \frac{1}{2} r . \left(\right. A B + A C + B C \left.\right)\)

Mà \(S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{6.8}{2} = 24\) cm², \(B C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\) cm

Nên ta có: \(24 = \frac{1}{2} r \left(\right. 6 + 8 + 10 \left.\right)\) suy ra \(r = 2\) (cm).

Vẽ \(A K ⊥ B C\) tại K, \(A H ⊥ \&\text{nbsp}; D C\) tại \(H\).

Khi đó tứ giác \(A K C H\) là hình chữ nhật nên \(A K = C H\); \(A H = C K\)

Trong tam giác vuông \(A K B\) vuông tại \(K\) có \(A B = 10\) cm, \(\hat{A B K} = 7 0^{\circ}\) 

\(A K = A B . \&\text{nbsp}; sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ} = 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\) suy ra \(A K = C H = 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

hay \(D H = C D - H C = 15 - 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

\(B K = A B . cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ} = 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

Suy ra \(C K = C B - B K = 13 - 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

hay \(A H = C K = 13 - 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông \(A D H\):

\(A D = \sqrt{A H^{2} + D H^{2}} = \sqrt{\left(\right. 13 - 10. cos ⁡ 7 0^{\circ} \left.\right)^{2} + \left(\right. 15 - 10. sin ⁡ 7 0^{\circ} \&\text{nbsp}; \left.\right)^{2}} \approx 11 , 1\) m.

a) \(\Delta C E F \sim \Delta C B A\) (g-g) suy ra  \(\frac{C F}{C E} = \frac{A C}{B C}\) nên

\(\Delta C F A \sim \Delta C E B\) (c-g-c) suy ra \(\frac{A F}{B E} = \frac{A C}{B C}\) hay \(\frac{A F}{B E} = cos ⁡ C\).

Vậy \(A F = B E . cos ⁡ C\).

b) Vì \(\Delta A B C\) có \(\hat{A} = 9 0^{\circ}\) nên  \(A B = sin ⁡ C . B C = 0 , 6.10 = 6\) cm.

Suy ra \(A C = 8\) cm nên \(A E = E C = 4\) cm.

Mà \(E F = sin ⁡ C . E C = 0 , 6.4 = 2 , 4\) cm.

Suy ra \(F C = 3 , 2\) cm (Định lí Pythagore)

\(S_{A B F E} \&\text{nbsp}; = S_{A B C} \&\text{nbsp}; - S_{C F E} \&\text{nbsp}; = \frac{1}{2} . \left(\right. A B . A C - E F . F C \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 6 \cdot 8 - 2 , 4 \cdot 3 , 2 \left.\right) = 20 , 16\) (cm\(^{2}\)).

Gọi \(x\), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền hai khoản đầu tư của bác Phương (\(x , y > 0\))

Tổng số tiền bác Phương đầu tư là \(800\) triệu đồng nên ta có phương trình \(x + y = 800\) (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6 \%\)/năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8 \%\)/năm, nên ta có phương trình

\(0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left{\right. & x + y = 800 \\ & 0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\)

Giải hệ phương trình ta được \(\left{\right. & x = 500 \\ & y = 300\) (thỏa mãn)

Vậy bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là \(500\) triệu đồng và \(300\) triệu đồng.

a) Để giải phương trình đã cho ta giải hai phương trình sau:

(1) \(3 x - 2 = 0\)

\(3 x = 2\)

\(x = \frac{2}{3}\)

(2) \(2 x + 1 = 0\)

\(2 x = - 1\)

\(x = \frac{- 1}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{2}{3}\) và \(x = \frac{- 1}{2}\).

b) \(\left{\right. & 2 x - y = 4 \\ & x + 2 y = - 3\)

\(\left{\right. & 4 x - 2 y = 8 \\ & x + 2 y = - 3\)

\(\left{\right. & 5 x = 5 \\ & x + 2 y = - 3\)

\(\left{\right. & x = 1 \\ & 1 + 2 y = - 3\) 

\(\left{\right. \&\text{nbsp}; & x = 1 \\ & 2 y = - 4\)

\(\left{\right. & x = 1 \\ & y = - 2\).

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \left(\right. 1 ; - 2 \left.\right)\)

a) Gọi số tuổi của bạn An là \(x\) (tuổi), \(x \in \mathbb{N}^{*}\).

Bất đẳng thức để mô tả bạn An ít nhất \(18\) tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội là: \(x \geq 18\).

b) Gọi khối lượng thang máy chở được là \(a\) kg, \(a > 0\).

Bất đẳng thức để mô tả một thang máy chở được tối đa \(700\) kg là: \(0 < a \leq 700\).

c) Gọi số tiền mua hàng là \(x\) (triệu đồng), \(x > 0\).

Bất đẳng thức để mô tả bạn phải mua hàng có tổng trị giá ít nhất \(1\) triệu đồng mới được giảm giá là \(x \geq 1\).

d) \(2 x - 3 > - 7 x + 2\).

Câu 1
Bài thơ Mẹ đã gợi trong em những cảm xúc thật thiêng liêng và sâu lắng về tình mẫu tử. Qua từng câu chữ giản dị mà tha thiết, em cảm nhận được tình yêu bao la, hi sinh âm thầm của người mẹ dành cho con. Mẹ luôn là người lo lắng, chăm sóc, che chở cho con từ khi tấm bé đến lúc trưởng thành, dù con có đi xa, mẹ vẫn dõi theo từng bước chân. Đọc bài thơ, em thấy hiện lên hình ảnh người mẹ tần tảo, nhọc nhằn, nhưng luôn dành tất cả những gì tốt đẹp nhất cho con. Em càng thấu hiểu hơn công lao sinh thành, dưỡng dục to lớn của mẹ và nhận ra rằng lòng biết ơn mẹ là điều thiêng liêng nhất mà mỗi người con cần khắc ghi trong tim. Bài thơ không chỉ khiến em xúc động mà còn nhắc nhở em phải sống hiếu thảo, chăm ngoan, cố gắng học tập để đền đáp tình yêu bao la của mẹ.
Câu 2
Lòng biết ơn là một trong những phẩm chất cao quý nhất của con người, thể hiện sự trân trọng, ghi nhớ và đáp lại những điều tốt đẹp mà người khác đã dành cho mình. Đó là tình cảm xuất phát từ trái tim, từ sự thấu hiểu rằng mỗi bước đi, mỗi thành công, mỗi niềm vui trong cuộc sống đều có sự giúp đỡ, hi sinh của những người xung quanh. Khi đọc bài thơ Mẹ, ta càng cảm nhận sâu sắc hơn giá trị của lòng biết ơn – đặc biệt là lòng biết ơn đối với đấng sinh thành. Nhân vật trữ tình trong bài thơ đã thấu hiểu những hi sinh thầm lặng của mẹ, từ đó bộc lộ tình yêu thương, sự trân trọng và niềm xúc động sâu sắc. Chính lòng biết ơn ấy đã khiến cho bài thơ trở thành một bản nhạc ngọt ngào, lay động tâm hồn của mỗi người con.

Trong cuộc sống, lòng biết ơn là nền tảng của đạo đức và là thước đo nhân cách con người. Người biết ơn sẽ không bao giờ sống vô tâm hay ích kỉ. Họ luôn nhớ đến công lao của cha mẹ đã sinh thành, dưỡng dục; của thầy cô đã dạy dỗ, dẫn đường; của bạn bè, những người đã giúp đỡ mình trong khó khăn. Lòng biết ơn giúp con người sống có trách nhiệm hơn, biết yêu thương và chia sẻ, từ đó góp phần tạo nên một xã hội nhân ái, ấm áp tình người. Ngược lại, người vô ơn thường dễ đánh mất niềm tin và tình cảm của người khác, khiến cuộc sống của họ trở nên trống rỗng và cô độc.

Thực tế, trong xã hội hiện nay, vẫn còn không ít người quên đi lòng biết ơn. Họ coi những gì mình có là điều hiển nhiên, không nhận ra rằng phía sau thành công là mồ hôi, nước mắt và tình yêu của biết bao người. Có những người con vì mải mê chạy theo cuộc sống mà quên mất cha mẹ già yếu ở quê nhà; có những học trò quên lời tri ân với thầy cô từng dạy dỗ mình. Những điều đó là lời cảnh tỉnh để mỗi chúng ta nhìn lại chính mình và học cách sống biết ơn nhiều hơn.

Lòng biết ơn không chỉ dừng lại ở lời nói, mà còn phải thể hiện qua hành động cụ thể. Đó có thể là việc chăm chỉ học tập, sống tốt, làm việc có ích để cha mẹ yên lòng; là một lời hỏi thăm, một cái ôm dành cho người đã từng giúp đỡ ta; là sự sẻ chia, giúp đỡ người khác trong lúc khó khăn. Khi ta gieo hạt giống biết ơn, ta cũng đang gieo hạt giống yêu thương và hạnh phúc cho chính mình.

Tóm lại, lòng biết ơn là sợi dây vô hình nhưng bền chặt, kết nối con người với con người bằng tình yêu và sự trân trọng. Nó giúp ta sống nhân hậu, vị tha và trưởng thành hơn trong tâm hồn. Học cách biết ơn là học cách làm người – một con người trọn vẹn, sống có ý nghĩa và lan tỏa những điều tốt đẹp trong cuộc đời này.