a) Chứng minh \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(B C\).

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ A B\)

Suy ra \(\hat{B D C} = \hat{B E C} = 9 0^{\circ}\).

Xét tam giác \(B D C\) có \(\hat{B D C} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (1)

Xét tam giác \(B E C\) có \(\hat{B E C} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O D = O E = O C = O B\).

Vậy tứ giác \(B C D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm \(B C\).

b) Chứng minh \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ \&\text{nbsp}; A B\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(A H\) (học sinh tự vẽ thêm trên hình)

Xét tam giác \(A D H\) có \(\hat{A D H} = 9 0^{\circ}\) và \(D M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M D = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (3)

Xét tam giác \(A E H\) có \(\hat{A E H} = 9 0^{\circ}\) và \(E M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M E = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(M\) là trung điểm \(A H\), đường kính \(A H\).

Ta có\(A I = \frac{2 A O}{3} = \frac{2 R}{3}\) suy ra\(O I = R - \frac{2 R}{3} = \frac{R}{3}\)

\(\Delta O C I\) vuông tại\(O\), ta có:

\(C I = \sqrt{O C^{2} + O I^{2}} = \sqrt{R^{2} + \left(\right. \frac{R}{3} \left.\right)^{2}} = \frac{R \sqrt{10}}{3}\) nội tiếp đường tròn có cạnh $\(C D\)là đường kính

Suy ra\(\Delta C E D\) vuông tại\(E\)

Hai tam giác vuông\(O C I\) và\(C E D\) có\(\hat{C}\):chung

Suy ra\(\Delta C O I \sim \Delta C E D\)

Suy ra\(\frac{C O}{C E} = \frac{C I}{C D}\)

\(C E = \frac{C O . C D}{C I} = \frac{R . 2 R}{R \frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{6 R}{\sqrt{10}} = \frac{3 R \sqrt{10}}{5}\).

a) Gọi\(E , F\) là tiếp điểm của đường tròn\(\left(\right. I \left.\right)\) với các cạnh\(A B , A C\)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:\(A E = A F ; B E = B D ; C D = C F\)

Do đó:\(2 B D = B D + B E = B C - C D + A B - A E\)

\(= B C + A B - \left(\right. C D + A E \left.\right) = B C + A B - \left(\right. C F + A F \left.\right)\)

\(= B C + A B - A C\) suy ra\(B D = \frac{B C + A B - A C}{2}\)

b) Tương tự câu a) ta có:\(D C = \frac{B C + A C - A B}{2}\) mà\(A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}\) (\(\Delta A B C\) vuông tại\(A\)), do đó:

\(B D . D C = \frac{\left(\right. B C + A B - A C \left.\right) \left(\right. B C + A C - A B \left.\right)}{4}\)

\(\frac{B C^{2} - \left(\right. A B - A C \left.\right)^{2}}{4} = \frac{B C^{2} - A B^{2} - A C^{2} + 2 A B . A C}{4}\)

\(= \frac{A B . A C}{2} = S_{A B C}\).

ΔABC vuông tại\(A\) , theo định lí Pythagore ta có:\(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{9^{2} + 1 2^{2}} = 15\)cm

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:\(A D = A F ; B D = B E ; C E = C F\).

Do đó\(2 A D + 2 B E + 2 C E = A B + B C + C A = 9 + 12 + 15 = 36\)

\(2 A D + 2 B C = 36\)

\(A D = 3\) (cm) suy ra\(B D = 6\) (cm);\(D I = 3\)cm.

Gọi\(N = B I \cap A C\) , ta có:\(\frac{B I}{B N} = \frac{B D}{B A} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{B G}{B M}\)

Suy ra\(I G\) //\(N M\) và\(I G = \frac{2}{3} N M\).

Ta có\(\diamond I D A F\) là hình vuông, có:\(\frac{B D}{B A} = \frac{D I}{A N} = \frac{2}{3}\)

Suy ra\(A N = 4 , 5\)cm.

Mà\(M\) là trung điểm của\(A C\) nên:\(N M = A M - A N = 6 - 4 , 5 = 1 , 5\) (cm) suy ra\(I G = 1\)cm.\(\)

Đường tròn\(\left(\right. I ; r \left.\right)\) tiếp xúc với các cạnh\(A B , A C , B C\) theo thứ tự\(M , N , P\).

Ta có:\(S_{A I B} = \frac{1}{2} I M . A B = \frac{1}{2} r . A B\)(1);

\(S_{A I C} = \frac{1}{2} I N . A C = \frac{1}{2} r . A C\)(2);

\(S_{B I C} = \frac{1}{2} r . B C\)(3)

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3), ta được:\(\frac{S_{A I B} + S_{A I C} + S_{B I C}}{S_{A B C}} = \frac{1}{2} r . \left(\right. A B + A C + B C \left.\right)\)

Mà\(S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{6.8}{2} = 24\)cm²,\(B C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\)cm

Nên ta có:\(24 = \frac{1}{2} r \left(\right. 6 + 8 + 10 \left.\right)\) suy ra\(r = 2\)(cm).

1. sin35⁰ = cos(90⁰ - 35⁰) = cos55⁰

Vậy sin35⁰ = cos55⁰

tan35⁰ = cot(90⁰ - 35⁰) = cot55⁰

Vậy tan35⁰ = cot55⁰
2. ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ AB = BC.cosB

= 20.cos36⁰

≈ 16,18 (cm)

Gọi vận tốc lúc về của người đó là x(km/h, x>0)

Vận tốc lúc đi là x+10(km/h)

Thời gian người đó đi từ A đến B là \(\frac{60}{x + 10} \left(\right. g i ờ \left.\right)\)

Thời gian người đó đi từ B về A là \(\frac{60}{x} \left(\right. g i ờ \left.\right)\)

Thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30p=0,5 giờ nên ta có:

\(\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 0 , 5\)

=>\(\frac{60 x + 600 - 60 x}{x \left(\right. x + 10 \left.\right)} = 0 , 5\)

=>\(x \left(\right. x + 10 \left.\right) = \frac{600}{0 , 5} = 1200\)

=>\(x^{2} + 10 x - 1200 = 0\)

=>(x+40)(x-30)=0

=>\(\left[\right.x+40=0\\x-30=0\Leftrightarrow\left[\right.x=-40\\x=30\)

Vậy vận tốc lúc về của người đó là 30km/h

a) ĐKXĐ: x ≠ -5

(x + 6).2 + 3.(x + 5) = 2.2(x + 5)

2x + 12 + 3x + 15 = 4x + 20

5x - 4x = 20 - 12 - 15

x = -7

Vậy S = -7
b) x + 3y = -2

x = -2 - 3y (1)

5x + 8y = 11 (2)

Thế pt (1) vào pt (2), ta được:

5(-2 - 3y) + 8y = 11

-10 - 15y + 8y = 11

-7y = 11 + 10

-7y = 21

y = 21 : (-7)

y = -3

Thế y = -3 vào pt (1), ta được:

x = -2 - 3.(-3) = 7
Vậy S = (7; -3)

a) Nhiệt độ t (⁰C) tuần tới tại Tokyo là:

t > -5

b) Gọi x (tuổi) là tuổi của người điều khiển xe máy điện. Ta có bất đẳng thức:

x ≥ 16

c) Gọi z (đồng) là mức lương tối thiểu trong một giờ làm việc của người lao động. Ta có bất đẳng thức:

z ≥ 20000

d) y là số dương nên ta có bất đẳng thức:

y > 0

Tam giác \(O A C\) có ba cạnh bằng nhau \(\left(\right. A C = O A = O C \left.\right)\) nên là tam giác đều

Suy ra \(\hat{A} = \hat{C_{1}} = \hat{O_{1}} = 6 0^{\circ}\).

Ta có: \(O A C\) có \(O B = O C\) nên cân tại \(O\) suy ra \(\hat{B} = \hat{C_{2}}\);

\(\hat{O_{1}}\) là góc ngoài của \(\Delta O B C\).

Do đó \(\hat{O_{1}} = \hat{B} + \hat{C_{2}} = 2 \hat{B} = 2 \hat{C_{2}}\)

\(\hat{B} = \hat{C_{2}} = \frac{1}{2} \hat{O_{1}} = 3 0^{\circ}\)

\(\hat{A C B} = \hat{C_{1}} + \hat{C_{2}} = 9 0^{\circ}\)

Vậy \(\hat{A} = 6 0^{\circ} ; \hat{B} = 3 0^{\circ} ; \hat{C} = 9 0^{\circ}\).

\(\Delta C A B\) có trung tuyến \(C O\) bằng nửa cạnh đối xứng \(A B\) nên vuông tại \(C\) với \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{A} = 6 0^{\circ}\) và \(\hat{B} = 3 0^{\circ}\)

Vậy \(\Delta A B C\) có \(\hat{C} = 9 0^{\circ} ; \hat{A} = 6 0^{\circ} ; \hat{B} = 3 0^{\circ}\).