a) Điểm A di động trên đường nào?

Vì B là một điểm cố định và độ dài đoạn AB luôn bằng 4 cm (cố định), theo định nghĩa của đường tròn:

• Tâm: B (cố định)
• Bán kính: R=AB=4 cm (cố định)

Vậy, điểm A luôn cách điểm B một khoảng bằng 4 cm.

Kết luận: Điểm A di động trên đường tròn tâm B, bán kính R=4 cm.

b) Trung điểm M của AC di động trên đường nào?

Ta có M là trung điểm của AC. B và C cố định.

Xét mối quan hệ giữa B, M, và C. Vì M là trung điểm của AC, xét tam giác ABC, ta không có mối quan hệ đơn giản giữa B,M,C.

Tuy nhiên, ta có thể liên hệ M với B thông qua một điểm cố định khác là C.

Ta có M là trung điểm của AC. Ta sẽ tìm mối quan hệ giữa M và một điểm cố định, ví dụ điểm D là trung điểm của BC.

1. Xác định điểm cố định: Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vì B và C cố định, nên D cũng là một điểm cố định.
2. Sử dụng tính chất đường trung bình:
3. • Xét △ABC:
   • D là trung điểm của BC (cố định).
   • M là trung điểm của AC (di động).
   • ⇒DM là đường trung bình của △ABC.
4. Mối quan hệ về độ dài: Theo tính chất đường trung bình: DM=21​ABVì AB=4 cm (cố định), nên: DM=21​×4=2 cm
5. Kết luận quỹ tích của M: Vì D là điểm cố định và độ dài đoạn DM luôn bằng 2 cm (cố định), theo định nghĩa của đường tròn:
6. • Tâm: D (trung điểm của BC, cố định)
   • Bán kính: R′=DM=2 cm (cố định)

Kết luận: Trung điểm M của AC di động trên đường tròn tâm D (với D là trung điểm của BC), bán kính R′=2 cm.

a) Đường thẳng OM có phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

Trả lời: Có, đường thẳng OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Giải thích:

1. Theo giả thiết, M là trung điểm của AB. Điều này có nghĩa là đường thẳng OM đi qua trung điểm của AB.
2. Theo tính chất về quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn, đường thẳng đi qua tâm O và đi qua trung điểm M của dây cung AB (không phải là đường kính) thì vuông góc với dây cung đó. ⇒OM⊥AB
3. Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Vì OM vuông góc với AB tại trung điểm M, nên đường thẳng OM là đường trung trực của AB.

b) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB

Khoảng cách từ tâm O đến dây AB chính là độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ O đến AB, tức là độ dài đoạn OM (theo kết quả câu a).

Ta có các giá trị đã biết:

• Bán kính R=OA=5 cm.
• Độ dài dây cung AB=8 cm.

Các bước tính:

1. Tính độ dài AM: Vì M là trung điểm của AB: AM=2AB​=28​=4 cm
2. Áp dụng Định lý Pytago: Xét tam giác OMA vuông tại M (OM⊥AB).
   Theo định lý Pytago, ta có: OA2=OM2+AM2 52=OM2+42 25=OM2+16 OM2=25−16 OM2=9 OM=9​=3 cm
3. • OA là cạnh huyền (OA=R=5 cm).
   • AM=4 cm.

a) Vẽ đường tròn (C; 2 cm)

Vì điểm C là giao điểm của hai đường tròn (O; 2 cm) và (A; 2 cm), ta xác định được điểm C rồi:

• Lấy điểm C, dùng compa vẽ đường tròn tâm C bán kính 2 cm.
• Đó chính là đường tròn (C; 2 cm).
• b) Đường tròn (C; 2 cm) có đi qua hai điểm O và A không? Vì sao?

Xét tam giác OAC, với:

• OA < 2 cm (giả sử)
• OC = AC = 2 cm (do C nằm trên cả hai đường tròn ban đầu)

=> Tam giác OAC là tam giác cân tại C với OC = AC = 2 cm.

Vì OC = 2 cm ⇒ điểm O nằm trên đường tròn (C; 2 cm)
Tương tự, AC = 2 cm ⇒ điểm A cũng nằm trên đường tròn (C; 2 cm)