a) \(\Delta C E F \sim \Delta C B A\) (g-g) suy ra  \(\frac{C F}{C E} = \frac{A C}{B C}\) nên

\(\Delta C F A \sim \Delta C E B\) (c-g-c) suy ra \(\frac{A F}{B E} = \frac{A C}{B C}\) hay \(\frac{A F}{B E} = cos ⁡ C\).

Vậy \(A F = B E . cos ⁡ C\).

b) Vì \(\Delta A B C\) có \(\hat{A} = 9 0^{\circ}\) nên  \(A B = sin ⁡ C . B C = 0 , 6.10 = 6\) cm.

Suy ra \(A C = 8\) cm nên \(A E = E C = 4\) cm.

Mà \(E F = sin ⁡ C . E C = 0 , 6.4 = 2 , 4\) cm.

Suy ra \(F C = 3 , 2\) cm (Định lí Pythagore)

\(S_{A B F E} \&\text{nbsp}; = S_{A B C} \&\text{nbsp}; - S_{C F E} \&\text{nbsp}; = \frac{1}{2} . \left(\right. A B . A C - E F . F C \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 6 \cdot 8 - 2 , 4 \cdot 3 , 2 \left.\right) = 20 , 16\) (cm\(^{2}\)).

Gọi \(x\), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền hai khoản đầu tư của bác Phương (\(x , y > 0\))

Tổng số tiền bác Phương đầu tư là \(800\) triệu đồng nên ta có phương trình \(x + y = 800\) (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6 \%\)/năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8 \%\)/năm, nên ta có phương trình

\(0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left{\right. & x + y = 800 \\ & 0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\)

Giải hệ phương trình ta được \(\left{\right. & x = 500 \\ & y = 300\) (thỏa mãn)

Vậy bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là \(500\) triệu đồng và \(300\) triệu đồng.

a) Để giải phương trình đã cho ta giải hai phương trình sau:

(1) \(3 x - 2 = 0\)

\(3 x = 2\)

\(x = \frac{2}{3}\)

(2) \(2 x + 1 = 0\)

\(2 x = - 1\)

\(x = \frac{- 1}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{2}{3}\) và \(x = \frac{- 1}{2}\).

b) \(\left{\right. & 2 x - y = 4 \\ & x + 2 y = - 3\)

\(\left{\right. & 4 x - 2 y = 8 \\ & x + 2 y = - 3\)

\(\left{\right. & 5 x = 5 \\ & x + 2 y = - 3\)

\(\left{\right. & x = 1 \\ & 1 + 2 y = - 3\) 

\(\left{\right. \&\text{nbsp}; & x = 1 \\ & 2 y = - 4\)

\(\left{\right. & x = 1 \\ & y = - 2\).

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \left(\right. 1 ; - 2 \left.\right)\)

a) Gọi số tuổi của bạn An là \(x\) (tuổi), \(x \in \mathbb{N}^{*}\).

Bất đẳng thức để mô tả bạn An ít nhất \(18\) tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội là: \(x \geq 18\).

b) Gọi khối lượng thang máy chở được là \(a\) kg, \(a > 0\).

Bất đẳng thức để mô tả một thang máy chở được tối đa \(700\) kg là: \(0 < a \leq 700\).

c) Gọi số tiền mua hàng là \(x\) (triệu đồng), \(x > 0\).

Bất đẳng thức để mô tả bạn phải mua hàng có tổng trị giá ít nhất \(1\) triệu đồng mới được giảm giá là \(x \geq 1\).

d) \(2 x - 3 > - 7 x + 2\).

Giả thiết:

• Đường tròn (O), đường kính AB.
• Dây AC bằng bán kính R của đường tròn. Tức là AC=OA=OC=R.

Phân tích và Tính toán:

1. Tính góc ∠ACB

• Vì AB là đường kính của đường tròn (O), và C là một điểm nằm trên đường tròn, nên △ABC là tam giác nội tiếp chắn nửa đường tròn.
• Theo tính chất, tam giác nội tiếp chắn nửa đường tròn là tam giác vuông tại đỉnh đối diện với đường kính. ⇒△ABC vuoˆng tại C ⇒∠ACB=90∘

2. Tính góc ∠ABC và ∠BAC

• Xét △AOC: Ta có OA=OC=AC=R (vì OA,OC là bán kính, AC theo giả thiết). ⇒△AOC laˋ tam giaˊc đeˆˋu. ⇒∠OAC=∠CAB=60∘
• Tính ∠ABC (Góc ∠B): Xét △ABC vuông tại C. Tổng ba góc trong tam giác bằng 180∘. ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘ 60∘+∠ABC+90∘=180∘ ∠ABC=180∘−90∘−60∘ ∠ABC=30∘

Kết luận:

Các góc của △ABC là:

Đây là bài toán hình học về hai đường tròn đồng tâm. Dưới đây là chứng minh chi tiết:

Chứng minh Tính chất của Hai Đường tròn Đồng tâm

Giả thiết:

• Hai đường tròn đồng tâm O: (O;R) và (O;r), với R>r.
• A,B thuộc (O;R)⇒OA=OB=R.
• A′,B′ thuộc (O;r)⇒OA′=OB′=r.
• O,A,A′ thẳng hàng và O,B,B′ thẳng hàng.
• O không thuộc đường thẳng AB.

a) Chứng minh OAOA′​=OBOB′​

1. Xác định độ dài các đoạn thẳng:
2. • OA và OB là bán kính của đường tròn lớn (O;R): OA=R OB=R
   • OA′ và OB′ là bán kính của đường tròn nhỏ (O;r): OA′=r OB′=r
3. Lập tỉ số:
4. • Tỉ số OAOA′​ là: OAOA′​=Rr​
   • Tỉ số OBOB′​ là: OBOB′​=Rr​
5. So sánh hai tỉ số: Vì cả hai tỉ số đều bằng Rr​, nên ta có: OAOA′​=OBOB′​

b) Chứng minh AB//A′B′

Để chứng minh AB song song với A′B′, ta sẽ sử dụng định lý Talet đảo trong tam giác △OAB.

1. Xét Tam giác △OAB:
2. • Điểm A′ nằm trên cạnh OA (vì O,A′,A thẳng hàng và r<R).
   • Điểm B′ nằm trên cạnh OB (vì O,B′,B thẳng hàng và r<R).
3. Áp dụng kết quả câu (a): Ta có tỉ lệ các đoạn thẳng tương ứng: OAOA′​=OBOB′​
4. Sử dụng Định lý Talet Đảo: Trong △OAB, có A′∈OA và B′∈OB. Vì OAOA′​=OBOB′​, theo định lý Talet đảo, ta suy ra đường thẳng nối hai điểm A′ và B′ phải song song với cạnh AB.

Giả thiết: ABCD là hình chữ nhật với AD=18 cm và CD=12 cm.

Chứng minh:

1. Xác định giao điểm hai đường chéo: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật ABCD.
2. Tính chất của hình chữ nhật: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ⇒AC=BDVà: OA=OC=21​AC OB=OD=21​BD
3. Kết luận về khoảng cách: Từ hai điều trên, ta suy ra: OA=OB=OC=ODĐiều này có nghĩa là bốn đỉnh A,B,C,D cách đều một điểm O.
4. Kết luận về đường tròn: Theo định nghĩa, bốn điểm cách đều một điểm O cùng nằm trên một đường tròn tâm O, với bán kính R=OA.

Vậy, bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD).

Tính Bán kính R của đường tròn đó

Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật chính là nửa độ dài đường chéo của hình chữ nhật.

1. Áp dụng Định lý Pytago: Xét tam giác ADC vuông tại D.
   Theo Định lý Pytago: AC2=AD2+CD2 AC2=182+122 AC2=324+144 AC2=468 AC=468​ cm
2. • Cạnh huyền là AC.
   • Hai cạnh góc vuông là AD=18 cm và CD=12 cm.
3. Tính bán kính R: R=21​AC=21​468​Ta có thể rút gọn 468​: 468​=36×13​=613​Vậy bán kính R là: R=21​(613​)=313​ cm

   
   

Giả thiết: ABCD là hình chữ nhật với AD=18 cm và CD=12 cm.

Chứng minh:

1. Xác định giao điểm hai đường chéo: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật ABCD.
2. Tính chất của hình chữ nhật: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ⇒AC=BDVà: OA=OC=21​AC OB=OD=21​BD
3. Kết luận về khoảng cách: Từ hai điều trên, ta suy ra: OA=OB=OC=ODĐiều này có nghĩa là bốn đỉnh A,B,C,D cách đều một điểm O.
4. Kết luận về đường tròn: Theo định nghĩa, bốn điểm cách đều một điểm O cùng nằm trên một đường tròn tâm O, với bán kính R=OA.

Vậy, bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD).

Tính Bán kính R của đường tròn đó

Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật chính là nửa độ dài đường chéo của hình chữ nhật.

1. Áp dụng Định lý Pytago: Xét tam giác ADC vuông tại D.
   Theo Định lý Pytago: AC2=AD2+CD2 AC2=182+122 AC2=324+144 AC2=468 AC=468​ cm
2. • Cạnh huyền là AC.
   • Hai cạnh góc vuông là AD=18 cm và CD=12 cm.
3. Tính bán kính R: R=21​AC=21​468​Ta có thể rút gọn 468​: 468​=36×13​=613​Vậy bán kính R là: R=21​(613​)=313​ cm

   
   

Đây là bài toán hình học về hai đường tròn cắt nhau. Dưới đây là lời giải chi tiết:

Giải Bài Toán Hai Đường Tròn Cắt Nhau

Giả thiết:

• Đường tròn tâm A, bán kính RA​=6 cm.
• Đường tròn tâm B, bán kính RB​=4 cm.
• Hai đường tròn cắt nhau tại C và D.
• Khoảng cách giữa hai tâm AB=8 cm.
• I và K lần lượt là giao điểm của hai đường tròn với đoạn thẳng AB.

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CA,CB,DA và DB

1. Tính CA và DA:
2. • C và D nằm trên đường tròn (A;6 cm).
   • Theo định nghĩa, khoảng cách từ tâm A đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn đều bằng bán kính. CA=DA=RA​=6 cm
3. Tính CB và DB:
4. • C và D nằm trên đường tròn (B;4 cm).
   • Theo định nghĩa, khoảng cách từ tâm B đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn đều bằng bán kính. CB=DB=RB​=4 cm

b) Điểm I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

Điểm I là giao điểm của đường tròn (A;6 cm) và đoạn thẳng AB.

1. Xác định vị trí điểm I:
2. • Vì I thuộc đường tròn (A;6 cm), nên AI là bán kính của đường tròn này. AI=6 cm
3. Kiểm tra điều kiện trung điểm:
4. • Ta có độ dài đoạn thẳng AB=8 cm.
   • Nếu I là trung điểm của AB thì AI phải bằng 2AB​. 2AB​=28​=4 cm
   • Ta thấy AI=6 cm và 2AB​=4 cm. AI=2AB​

Kết luận: Điểm I không phải là trung điểm của đoạn thẳng AB. (Nó nằm trên đoạn AB và cách A một khoảng 6 cm, cách B một khoảng 8−6=2 cm).

c) Tính độ dài của đoạn thẳng IK

Điểm I và K đều nằm trên đoạn AB. Ta cần tính độ dài của các đoạn AI, AK, BI, BK.

1. Tính AI:
2. • I là giao điểm của (A;6 cm) với AB. AI=6 cm
3. Tính AK:
4. • K là giao điểm của (B;4 cm) với AB.
   • K thuộc đường tròn (B;4 cm), nên BK là bán kính. BK=4 cm
5. Xác định vị trí I và K trên đoạn AB:
6. • AB=8 cm.
   • I nằm giữa A và B vì AI=6<8.
   • K nằm giữa A và B vì BK=4<8.
   • Vị trí của I: BI=AB−AI=8−6=2 cm.
   • Vị trí của K: AK=AB−BK=8−4=4 cm.
7. Tính độ dài IK:
8. • Vì AK=4 cm và AI=6 cm, mà 4<6, nên điểm K nằm giữa A và I.
   • Ta có: AK+IK=AI 4+IK=6 IK=6−4 IK=2 cm

Đây là cách xác định các điểm đối xứng dựa trên tính đối xứng của đường tròn.

Tìm Điểm Đối Xứng N và P

a) Điểm N đối xứng với điểm M qua tâm O

Phép đối xứng qua tâm O biến một điểm M thành điểm N sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Cách tìm điểm N:

1. Vẽ đường kính: Nối điểm M với tâm O và kéo dài đoạn thẳng MO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai.
2. Xác định N: Điểm cắt thứ hai này chính là điểm N.

Giải thích: Vì M nằm trên đường tròn và O là tâm, MN đi qua tâm O nên MN là một đường kính của đường tròn (O). Do đó, O là trung điểm của MN, và N là điểm đối xứng với M qua tâm O.

b) Điểm P đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB

Phép đối xứng qua đường thẳng AB biến một điểm M thành điểm P sao cho đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng MP. Điều này có nghĩa là AB⊥MP và AB đi qua trung điểm của MP.

Cách tìm điểm P:

1. Kẻ đường vuông góc: Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với đường kính AB. Gọi H là giao điểm của đường thẳng này với AB. (Nếu M trùng với A hoặc B, thì P trùng với M).
2. Xác định P: Trên đường thẳng MH, lấy điểm P sao cho H là trung điểm của đoạn MP (tức là HP=HM).

Giải thích: Đường tròn (O) có đường kính AB. Đường thẳng AB chính là một trục đối xứng của đường tròn (O).

• Khi P đối xứng với M qua trục AB, theo định nghĩa, AB là đường trung trực của MP.
• Vì M thuộc đường tròn (O), điểm P đối xứng với M qua trục đối xứng AB cũng phải nằm trên đường tròn (O).