a) Chứng minh \(\hat{A B C} = \hat{C H M}\).

Vì \(A M , C N\) là các đường cao của \(\Delta A B C\)nên \(A M ⊥ B C\) và \(C N ⊥ A B\)

Suy ra \(\hat{B M H} = \hat{B N H} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(H B\).

Xét tam giác \(H N B\) có \(\hat{H N B} = 9 0^{\circ}\) và \(N F\)là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(F N = F H = F B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H M B\) có \(\hat{H M B} = 9 0^{\circ}\) và \(M F\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(F M = F H = F B = \frac{1}{2} B H\) (2)

Suy ra \(B N H M\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(F\), đường kính \(H B\).

Do đó \(\hat{M B N} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\) (tổng hai góc đối bằng \(18 0^{\circ}\).

hay \(\hat{C B A} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\).

Mà \(\hat{M B N} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\) (hai góc kề bù) do đó \(\hat{C B A} = \hat{M B N}\).

b) Chứng minh \(\hat{A D C} = \hat{A H C}\).

Tứ giác \(B N H M\) nội tiếp nên \(\hat{M B N} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\)

Mà \(\hat{A H C} = \hat{N H M}\) (đối đỉnh) nên \(\hat{M B N} + \hat{A H C} = 18 0^{\circ}\) hay \(\hat{A B C} + \hat{A H C} = 18 0^{\circ}\)

Mặt khác tứ giác \(B N H M\) nội tiếp đường tròn tâm \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(\hat{A D C} + \hat{A B C} = 18 0^{\circ}\).

Do đó \(\hat{A D C} = \hat{A H C}\).

c) Chứng minh \(\hat{M A C} = \hat{M N C}\).

Ta chứng minh \(A C M N\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(E\) là trung điểm \(A C\).

Xét tam giác \(A M C\) có \(\hat{A M C} = 9 0^{\circ}\) và \(M E\)là đường trung tuyến nên \(E M = E C = E A = \frac{1}{2} A C\) (3) 

Xét tam giác \(A N C\) có \(\hat{A N C} = 9 0^{\circ}\) và \(N E\) là đường trung tuyến nên \(E N = E C = E A = \frac{1}{2} A C\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(E M = E N = E C = E A\).

Vậy tứ giác \(A C M N\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(E\) đường kính \(A C\).

Suy ra \(\hat{M A C} = \hat{M N C}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(M C\) của đường tròn tâm \(E\)).

d) Chứng minh \(\hat{M A C} + 9 0^{\circ} = \hat{A N M}\).

Ta có \(\hat{M A C} + \hat{A C M} = 9 0^{\circ}\) (hai góc phụ nhau)

Hay \(\hat{A C M} = 9 0^{\circ} - \hat{M A C}\)

Mà \(\hat{A C M} + \hat{A N M} = 18 0^{\circ}\) (tứ giác \(A C M N\) nội tiếp được đường tròn) nên \(9 0^{\circ} - \hat{M A C} + \hat{A N M} = 18 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{M A C} + 9 0^{\circ} = \hat{A N M}\).

a) Chứng minh tứ giác \(B F H D\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) có \(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(C F ⊥ A B\).

\(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(B E ⊥ A C\)

Mà \(C F\) cắt \(B E\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)

Hay \(A H ⊥ B C\), suy ra \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(B H\).

Xét tam giác \(H D B\) có \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D K\)là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K D = K H = K B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H F B\) có \(\hat{H F B} = 9 0^{\circ}\) và \(E K\)là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K E = K H = K B = \frac{1}{2} H B\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(K B = K H = K F = K D\).

Vậy tứ giác \(B F H D\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(K\) đường kính \(B H\).

b) Chứng minh tứ giác \(A B D E\) nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(A B\).

Xét tam giác \(A D B\) có \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\)là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (3)

Xét tam giác \(A E B\) có \(\hat{A E B} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(O D = O E = O A = O B\).

Vậy tứ giác \(A B D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) đường kính \(A B\).

a) Chứng minh \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(B C\).

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\)nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ A B\)

Suy ra \(\hat{B D C} = \hat{B E C} = 9 0^{\circ}\).

Xét tam giác \(B D C\) có \(\hat{B D C} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\)là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (1)

Xét tam giác \(B E C\) có \(\hat{B E C} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O D = O E = O C = O B\).

Vậy tứ giác \(B C D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm \(B C\).

b) Chứng minh \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\)nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ \&\text{nbsp}; A B\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(A H\) (học sinh tự vẽ thêm trên hình)

Xét tam giác \(A D H\) có \(\hat{A D H} = 9 0^{\circ}\) và \(D M\)là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M D = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (3)

Xét tam giác \(A E H\) có \(\hat{A E H} = 9 0^{\circ}\) và \(E M\)là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M E = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(M\) là trung điểm \(A H\), đường kính \(A H\).

\(C\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore ta có: \(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{9^{2} + 1 2^{2}} = 15\) cm

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(A D = A F ; B D = B E ; C E = C F\).

Do đó \(2 A D + 2 B E + 2 C E = A B + B C + C A = 9 + 12 + 15 = 36\)

\(2 A D + 2 B C = 36\)

\(A D = 3\) (cm) suy ra \(B D = 6\) (cm); \(D I = 3\)cm.

Gọi \(N = B I \cap A C\), ta có: \(\frac{B I}{B N} = \frac{B D}{B A} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{B G}{B M}\)

Suy ra \(I G\) // \(N M\) và \(I G = \frac{2}{3} N M\).

Ta có \(\diamond I D A F\) là hình vuông, có: \(\frac{B D}{B A} = \frac{D I}{A N} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(A N = 4 , 5\) cm.

Mà \(M\) là trung điểm của \(A C\) nên: \(N M = A M - A N = 6 - 4 , 5 = 1 , 5\) (cm) suy ra \(I G = 1\) cm.

Đường tròn \(\left(\right. I ; r \left.\right)\) tiếp xúc với các cạnh \(A B , A C , B C\) theo thứ tự \(M , N , P\).

Ta có: \(S_{A I B} = \frac{1}{2} I M . A B = \frac{1}{2} r . A B\) (1);

\(S_{A I C} = \frac{1}{2} I N . A C = \frac{1}{2} r . A C\) (2);

\(S_{B I C} = \frac{1}{2} r . B C\) (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3), ta được: \(\frac{S_{A I B} + S_{A I C} + S_{B I C}}{S_{A B C}} = \frac{1}{2} r . \left(\right. A B + A C + B C \left.\right)\)

Mà \(S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{6.8}{2} = 24\) cm², \(B C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\) cm

Nên ta có: \(24 = \frac{1}{2} r \left(\right. 6 + 8 + 10 \left.\right)\) suy ra \(r = 2\) (cm).

Câu 1

Bài thơ Mẹ của Bằng Việt đã để lại trong em nhiều xúc động sâu sắc về tình mẹ và lòng biết ơn đối với những người mẹ thầm lặng trong chiến tranh. Hình ảnh người mẹ trong bài thơ hiện lên thật dung dị mà cao quý – người mẹ tần tảo, hiền từ, sẵn sàng chăm sóc, yêu thương đứa con bị thương dù đó không phải là con ruột của mình. Sự hi sinh của mẹ không chỉ thể hiện qua những việc làm nhỏ bé hằng ngày mà còn qua tấm lòng bao dung, thấu hiểu và chấp nhận nỗi đau riêng để tiễn con ra trận. Người lính – người con trong thơ luôn khắc ghi hình bóng của mẹ, mang theo tình yêu thương ấy trên mọi nẻo đường chiến đấu. Tình mẹ trở thành nguồn sức mạnh, là ngọn lửa sưởi ấm và tiếp thêm nghị lực cho người con vượt qua gian khổ, hiểm nguy. Bài thơ giúp em nhận ra vẻ đẹp thiêng liêng của tình mẫu tử và càng thêm trân trọng, biết ơn những người mẹ Việt Nam đã hi sinh thầm lặng vì hạnh phúc của con và vì Tổ quốc
Câu 2

Lòng biết ơn là một trong những phẩm chất cao đẹp nhất của con người, là biểu hiện của đạo lý “Uống nước nhớ nguồn” đã được ông cha ta truyền dạy từ ngàn đời. Biết ơn không chỉ là cảm xúc, mà còn là thái độ sống tích cực, thể hiện sự trân trọng đối với những gì người khác mang lại cho ta.

Người có lòng biết ơn luôn ghi nhớ công ơn của cha mẹ, thầy cô, những người đã giúp đỡ, dìu dắt mình trên đường đời. Họ thể hiện lòng biết ơn bằng những hành động thiết thực: lời cảm ơn chân thành, sự cố gắng học tập, làm việc tốt hơn để không phụ lòng mong mỏi của những người đã yêu thương mình. Lòng biết ơn giúp con người sống nhân ái, bao dung, biết quý trọng hiện tại và luôn hướng về điều thiện.

Không chỉ có ý nghĩa với mỗi cá nhân, lòng biết ơn còn góp phần xây dựng một xã hội nhân văn, gắn kết con người bằng tình yêu thương và sự sẻ chia. Truyền thống biết ơn của dân tộc ta được thể hiện qua các ngày lễ tri ân như Ngày Thương binh – Liệt sĩ, Ngày Nhà giáo Việt Nam,… giúp thế hệ trẻ ghi nhớ công lao của thế hệ đi trước. Tuy nhiên, ngày nay vẫn còn những người vô tâm, sống ích kỉ, quên đi công ơn cha mẹ, thầy cô, hoặc thờ ơ với những người đã hi sinh vì Tổ quốc – đó là biểu hiện đáng buồn cần được thay đổi.

Để nuôi dưỡng lòng biết ơn, mỗi người cần rèn luyện sự quan tâm và chia sẻ hằng ngày: biết nói lời cảm ơn, biết giúp đỡ người khác, tri ân những người đã giúp mình trưởng thành. Một lời cảm ơn, một hành động nhỏ cũng có thể lan tỏa năng lượng tích cực, khiến cuộc sống trở nên tốt đẹp hơn.

Lòng biết ơn không chỉ giúp ta sống hạnh phúc, có trách nhiệm mà còn làm cho xã hội thêm yêu thương và nghĩa tình. Hãy luôn biết ơn cuộc đời, biết ơn những người xung quanh, bởi chính lòng biết ơn là nền tảng để con người hoàn thiện bản thân và góp phần xây dựng một thế giới tốt đẹp hơn.

Câu 1. (0,5 điểm)

Thể thơ tám chữ.

Câu 2. (0,5 điểm)

Nhân vật trữ tình trong bài thơ là người lính – người từng bị thương và được chăm sóc bởi người mẹ hậu phương.

Câu 3. (1,0 điểm)

– Người mẹ trong bài thơ hiện lên với những phẩm chất đáng quý sau:

+ Tận tuỵ, ân cần, yêu thương con vô bờ bến: Dù không phải là mẹ ruột nhưng mẹ vẫn ân cần chăm sóc người lính như con đẻ và dồn hết tình yêu thương cho người lính ấy.

+ Thấu hiểu, đồng cảm, kiên cường, mạnh mẽ, giàu lòng yêu nước: Dù cảnh chia tay khiến người mẹ "ứa nước mắt" nhưng người mẹ ấy hiểu rõ mong muốn được lên đường chiến đấu của người lính nên đã không níu giữ, chỉ ân cần hỏi han sức khoẻ trước khi người lính tiếp tục lên đường, chiến đấu vì Tổ quốc.

Câu 4. (1,0 điểm)

– HS xác định và phân tích tác dụng của biện pháp tu từ ấy.

– Cụ thể:

+ Biện pháp tu từ liệt kê: trái bưởi đào, canh tôm nấu khế, khoai nướng, ngô bung.

+ Tác dụng:

   ++ Tạo hình ảnh cụ thể, từ đó giúp người đọc hình dung được rõ nét hơn sự chăm sóc tỉ mỉ, đầy ân tình của người mẹ.

   ++ Nhấn mạnh sự thấu hiểu, chu đáo, tận tâm, ân cần của người mẹ dành cho người lính.

Câu 5. (1,0 điểm)

– Qua bài thơ, nhân vật trữ tình đã thể hiện những tình cảm sau:

+ Biết ơn, trân trọng: Người lính dù đã đi xa nhưng vẫn luôn ghi nhớ và trân trọng những gì mà người mẹ ấy đã làm cho mình.

+ Yêu thương và kính trọng sâu sắc: Dù không phải mẹ ruột nhưng người lính vẫn dành cho người mẹ ấy tình yêu thương, sự kính trọng như đối với mẹ đẻ.

=> Nhận xét: Chính từ những tình cảm ấy mà người lính coi nơi "có mẹ" chính là quê hương, mới lo lắng, xót xa khi nghĩ về mẹ vào những mùa mưa, mùa gió trái. Điều này đã cho thấy, hình ảnh người mẹ, sự hi sinh của mẹ đã in sâu vào trái tim người lính. Để rồi, trên con đường hành quân, dẫu chỉ thấy "mái lá, cây vườn", người con cũng nhớ về mẹ, cũng thấy mẹ luôn hiện hữu xung quanh.

Vẽ \(A K ⊥ B C\) tại K, \(A H ⊥ \&\text{nbsp}; D C\) tại \(H\).

Khi đó tứ giác \(A K C H\) là hình chữ nhật nên \(A K = C H\); \(A H = C K\)

Trong tam giác vuông \(A K B\) vuông tại \(K\) có \(A B = 10\) cm, \(\hat{A B K} = 7 0^{\circ}\) 

\(A K = A B . \&\text{nbsp}; sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ} = 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\) suy ra \(A K = C H = 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

hay \(D H = C D - H C = 15 - 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

\(B K = A B . cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ} = 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

Suy ra \(C K = C B - B K = 13 - 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

hay \(A H = C K = 13 - 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông \(A D H\):

\(A D = \sqrt{A H^{2} + D H^{2}} = \sqrt{\left(\right. 13 - 10. cos ⁡ 7 0^{\circ} \left.\right)^{2} + \left(\right. 15 - 10. sin ⁡ 7 0^{\circ} \&\text{nbsp}; \left.\right)^{2}} \approx 11 , 1\) m.

\(A\) (g-g) suy ra  \(\frac{C F}{C E} = \frac{A C}{B C}\) nên

\(\Delta C F A \sim \Delta C E B\) (c-g-c) suy ra \(\frac{A F}{B E} = \frac{A C}{B C}\) hay \(\frac{A F}{B E} = cos ⁡ C\).

Vậy \(A F = B E . cos ⁡ C\).

b) Vì \(\Delta A B C\) có \(\hat{A} = 9 0^{\circ}\) nên  \(A B = sin ⁡ C . B C = 0 , 6.10 = 6\) cm.

Suy ra \(A C = 8\) cm nên \(A E = E C = 4\) cm.

Mà \(E F = sin ⁡ C . E C = 0 , 6.4 = 2 , 4\) cm.

Suy ra \(F C = 3 , 2\) cm (Định lí Pythagore)

\(S_{A B F E} \&\text{nbsp}; = S_{A B C} \&\text{nbsp}; - S_{C F E} \&\text{nbsp}; = \frac{1}{2} . \left(\right. A B . A C - E F . F C \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 6 \cdot 8 - 2 , 4 \cdot 3 , 2 \left.\right) = 20 , 16\) (cm\(^{2}\)).

a) Để giải phương trình đã cho ta giải hai phương trình sau:

(1) \(3 x - 2 = 0\)

\(3 x = 2\)

\(x = \frac{2}{3}\)

(2) \(2 x + 1 = 0\)

\(2 x = - 1\)

\(x = \frac{- 1}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{2}{3}\)và \(x = \frac{- 1}{2}\).