Bài 2 (Câu 18)

Cho đường tròn (C):(x+3)2+(y−2)2=36 và đường thẳng Δ:3x−4y+7=0.

a) Tính cosα với α là góc giữa Δ và Δ1​:12x−5y+7=0

• Vectơ pháp tuyến của Δ là n=(3;−4).
• Vectơ pháp tuyến của Δ1​ là n1​=(12;−5).
• Áp dụng công thức: cosα=∣n∣​=32+(−4)​⋅122+(−5)2​ cosα=5⋅13∣36+20∣​=6556​

b) Viết phương trình đường thẳng d song song với Δ và tiếp xúc với (C)

1. Thông số đường tròn: Tâm I(−3;2), bán kính R=36
2. Dạng phương trình d: Vì d∥Δ, phương trình d có dạng: 3x−4y+c=0 (với c=7).
3. Điều kiện tiếp xúc: Khoảng cách từ tâm I đến d phải bằng bán kính R. d(I,d)=32+(−4)2 5∣−9−8+c∣​=6⇔∣c−17∣=30
4. Giải tìm c:
5. • c−17=30⇒c=47 (Thỏa mãn).
   • c−17=−30⇒c=−13 (Thỏa mãn).
     Vậy có hai đường thẳng: d1​:3x−4y+47=0 và d2​:3x−4y−13=0.

1. Tìm nghiệm của tam thức bậc hai: Xét −2x2+18x+20=0.
   Chia cả hai vế cho −2, ta được: x2−9x−10=0.
   Phương trình có dạng a−b+c=0 (1−(−9)+(−10)=0), nên có hai nghiệm: x1​=−1 và x2​=10.
2. Xét dấu: Vì hệ số a=−2<0, tam thức sẽ cùng dấu với a (âm) ở ngoài khoảng nghiệm và trái dấu với a (dương) ở trong khoảng nghiệm.
3. Kết luận: Để −2x2+18x+20≥0, ta lấy đoạn giữa hai nghiệm.
   Tập nghiệm: S=[−1;10].

b) Giải phương trình: 2x2−8x+4

1. Điều kiện: x−2≥0⇔x≥2.
2. Bình phương hai vế:
   2x2−8x+4=(x−2)2
   2x2−8x+4=x2−4x+4
   x2−4x=0
   x(x−4)=0
3. Giải nghiệm: x=0 hoặc x=4.
4. Đối chiếu điều kiện: * x=0 (Loại vì 0<2).
5. • x=4 (Thỏa mãn).
     Vậy nghiệm của phương trình là: x=4