Xét phương trình \(x^{2} - 6 x + m + 4 = 0\) (1) (\(m\) là tham số).

a) Khi \(m = 1\), ta có \(x^{2} - 6 x + 1 + 4 = 0\)

\(x^{2} - 6 x + 5 = 0\)

Vì \(a + b + c = 1 + \left(\right. - 6 \left.\right) + 5 = 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1 ; x_{2} = \frac{c}{a} = 5\).

Vậy \(m = 1\) thì phương trình có nghiệm là \(x_{1} = 1 ; x_{2} = 5\).

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) thì \(\Delta^{'} > 0\)

\(\left(\left(\right. - 3 \left.\right)\right)^{2} - 1 \left(\right. m + 4 \left.\right) > 0\)

\(9 - m - 4 > 0\)

\(- m > - 5\)

\(m < 5\).

Khi đó theo hệ thức Viète, ta có \(x_{1} + x_{2} = 6 ; x_{1} x_{2} = m + 4\).

Theo bài ra: \(2 020 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 021 x_{1} x_{2} = 2 014\)

\(2 020.6 - 2 021. \left(\right. m + 4 \left.\right) = 2 014\)

\(12 120 - 2 021 m - 8 084 = 2 014\)

\(- 2 021 m = - 2 022\)

\(m = \frac{2 022}{2 021}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{2 022}{2 021}\) là giá trị cần tìm.

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình \(\left(\right. 1 \left.\right)\) ta có:

\(x^{2} - 2 \left(\right. 1 + 1 \left.\right) x + 1^{2} + 2 = 0\)

\(x^{2} - 4 x + 3 = 0\)

Phương trình có: \(a + b + c = 1 - 4 + 3 = 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = 1\) và \(x_{2} = \frac{c}{a} = 3.\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left{\right. 1 ; 3 \left.\right}\).

b) Xét phương trình \(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 2 = 0\) (1)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta^{'} > 0\)

\(\left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) > 0\)

\(m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} - 2 > 0\)

\(2 m - 1 > 0\)

\(m > \frac{1}{2}\)

Với \(m > \frac{1}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\).

Áp dụng định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) ; x_{1} x_{2} = m^{2} + 2\).

Theo đề bài ta có: \(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

\(x_{1}^{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

\(x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 12 m + 2\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

\(4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\)

\(4 m^{2} + 8 m + 4 - m^{2} - 2 = 12 m + 2\)

\(3 m^{2} - 4 m = 0\)

\(m \left(\right. 3 m - 4 \left.\right) = 0\)

\(m = 0\) (ktm); \(m = \frac{4}{3}\) (tm).

Vậy \(m = \frac{4}{3}\) là thỏa mãn bài toán.

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

Với \(m = 1\), phương trình đã cho trở thành \(x^{2} - 4 x + 1 = 0\).

Ta có \(\Delta^{'} = 2^{2} - 1 = 3 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{\Delta^{'}}}{a} = 2 + \sqrt{3}\);

\(x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{\Delta^{'}}}{a} = 2 - \sqrt{3}\).

Vậy khi \(m = 1\) thì nghiệm của phương trình là \(x_{1} = 2 + \sqrt{3} ;\) \(x_{2} = 2 - \sqrt{3}\).

b) Ta có: \(\Delta^{'} = \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - m^{2} = 2 m + 1\).

Để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) thì \(\Delta^{'} \geq 0\)

\(2 m + 1 \geq 0\)

\(m \geq - \frac{1}{2}\).

Khi đó áp dụng định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) ; x_{1} x_{2} = m^{2}\).

Theo bài ra ta có: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 6 x_{1} x_{2} + 6 = 0\)

\(4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 6 m^{2} + 6 = 0\)

\(- 2 m^{2} + 8 m + 10 = 0\) (1)

Ta có \(a - b + c = - 2 - 8 + 10 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(m_{1} = - 1\) (ktm); \(m_{2} = - \frac{c}{a} = - \frac{10}{- 2} = 5\) (tm).

Vậy có một giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(m = 5\).

a) Giải phương trình (1) với \(m = - 3\).

Khi \(m = - 3\) phương trình (1) trở thành: \(x^{2} + x - 2 = 0\).

Vì \(1 + 1 + \left(\right. - 2 \left.\right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1 ; x_{2} = - 2\)

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

Ta có: \(\Delta = \left[\right. - \left(\right. m + 2 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m + 1 \left.\right) = m^{2} + 4 m + 4 - 4 m - 4 = m^{2} \geq 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

c) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Theo câu b ta có: \(\Delta = m^{2}\)

Phương trình (1) có có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông khi

\(\left{\right. & \Delta > 0 \\ & x_{1} + x_{2} > 0 \\ & x_{1} . x_{2} > 0\)

\(\left{\right. & m^{2} > 0 \\ & m + 2 > 0 \\ & m + 1 > 0\)

\(\left{\right. & m \neq 0 \\ & m > - 1\)

Mặt khác tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền \(h = \frac{2}{\sqrt{5}}\) nên áp dụng hệ thức \(\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{h^{2}}\) ta có:

\(\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{1}{\left(\right. \frac{2}{\sqrt{5}} \left.\right)^{2}}\)

\(\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}} = \frac{5}{4}\)

\(4 \left[\right. \left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left]\right. = 5 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2}\)

\(\&\text{nbsp}; 4 \left[\right. \left(\left(\right. m + 2 \left.\right)\right)^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right. = 5 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)

\(m = 1 ; m = - 3\)

Đối chiếu điều kiện ta được \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 2\).

+ Khi \(m = 2\), phương trình đã cho trở thành: \(x^{2} - 3 x + 2 = 0\).

+ Ta có: \(a + b + c = 1 + \left(\right. - 3 \left.\right) + 2 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 2\).

Vậy khi \(m = 2\) thì phương trình (1) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 2\).   

b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình (1) có nghiệm.

+ Ta có: \(\Delta = \left(\right. - 3 \left.\right)^{2} - 4.1. m = 9 - 4 m\).

+ Để phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: \(\Delta \geq 0\)

\(9 - 4 m \geq 0\)

\(4 m \leq 9\)

\(m \leq \frac{9}{4}\)

Vậy khi \(m \leq \frac{9}{4}\) thì phương trình (1) có nghiệm.    

c) Theo câu b) phương trình \(\left(\right. 1 \left.\right)\) có nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) khi \(m \leq \frac{9}{4}\) (*).

Khi đó theo định lí Viète, ta có: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 3 ;\)

\(x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = m\).  

Ta có: \(x_{1}^{3} x_{2} + x_{1} x_{2}^{3} - 2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 5\)

\(x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - 2 \left(\left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)\right)^{2} = 5\)

\(x_{1} x_{2} \left[\right. \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left]\right. - 2 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2} = 5\)

\(m \left(\right. 3^{2} - 2 m \left.\right) - 2 m^{2} = 5\)

\(9 m - 2 m^{2} - 2 m^{2} = 5\)

\(4 m^{2} - 9 m + 5 = 0\)

\(4 m^{2} - 4 m - 5 m + 5 = 0\)

\(4 m \left(\right. m - 1 \left.\right) - 5 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. 4 m - 5 \left.\right) = 0\)

\(m = 1\) hoặc \(m = \frac{5}{4}\).

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được các giá trị cần tìm của \(m\) là \(m = 1\) và \(m = \frac{5}{4}\).

x2−2mx+2m−2=0, với \(m\) là tham số.

\(\Delta^{'} = \left(\right. - m \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) = m^{2} - 2 m + 2 = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 1 \geq 0\) với mọi \(m\).

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m ; x_{1} x_{2} = 2 m - 2\).

Theo giả thiết, ta có: \(x_{1} + 3 x_{2} = 6\)

Giải hệ phương trình \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = 2 m \\ & x_{1} + 3 x_{2} = 6\)

\(\left{\right. & x_{2} = 3 - m \\ & x_{1} = 3 m - 3\)

Thay \(\left{\right. & x_{2} = 3 - m \\ & x_{1} = 3 m - 3\) vào \(x_{1} x_{2} = 2 m - 2\), ta được:

\(\left(\right. 3 m - 3 \left.\right) \left(\right. 3 - m \left.\right) = 2 m - 2\)

\(3 m^{2} - 10 m + 7 = 0\)

Phương trình có dạng \(a + b + c = 3 - 10 + 7 = 0\).

Suy ra \(m = 1\) hoặc \(m = \frac{7}{3}\) .

Vây giá trị cần tìm là \(m = 1\) hoặc \(m = \frac{7}{3}\) .

Ta có: \(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} \geq 0 , \forall m\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) với mọi \(m\) khi \(m \neq 2\).

Áp dụng hệ thức Viète ta có \(x_{1} + x_{2} = - m - 2 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = - 2 m - 4 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\)

Biểu thức liên hệ giữa \(x_{1} , x_{2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m\) là \(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\).

Ta có: \(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} \geq 0 , \forall m\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) với mọi \(m\) khi \(m \neq 2\).

Áp dụng hệ thức Viète ta có \(x_{1} + x_{2} = - m - 2 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = - 2 m - 4 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\)

Biểu thức liên hệ giữa \(x_{1} , x_{2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m\) là \(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\).

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(x^{2} - x - 1 = 0\). Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 1 , x_{1} x_{2} = - 1.\)

Vì \(x\) là nghiệm nên:

\(x^{2} = x + 1.\)

Xét:

\(P \left(\right. x \left.\right) = 3 x - \sqrt{33 x + 25} .\)

Ta biến đổi biểu thức trong căn:

\(33 x + 25 = 33 x + 25 \left(\right. x^{2} - x \left.\right) \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; x^{2} = x + 1 \Rightarrow 1 = x^{2} - x \left.\right)\) \(= 25 x^{2} + 8 x = x \left(\right. 25 x + 8 \left.\right) .\)

Do đó:

\(P \left(\right. x \left.\right) = 3 x - \sqrt{x \left(\right. 25 x + 8 \left.\right)} .\)

Xét hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\). Ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 1 , x_{1} x_{2} = - 1.\)

Ta nhận thấy hai nghiệm là nghiệm của cùng một phương trình nên biểu thức \(x \left(\right. 25 x + 8 \left.\right)\) có cùng giá trị với cả hai nghiệm (do có thể biến đổi về dạng đối xứng theo \(x_{1} , x_{2}\)). Suy ra:

\(\sqrt{33 x_{1} + 25} = \sqrt{33 x_{2} + 25} .\)

Ngoài ra:

\(3 x_{1} \neq 3 x_{2} \&\text{nbsp};\text{nh}ư\text{ng}\&\text{nbsp};\text{s}ự\&\text{nbsp};\text{ch} \hat{\text{e}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{l}ệ\text{ch}\&\text{nbsp};\text{n} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{y}\&\text{nbsp};đượ\text{c}\&\text{nbsp};\text{tri}ệ\text{t}\&\text{nbsp};\text{ti} \hat{\text{e}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{b}ở\text{i}\&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ }{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ưo\text{ng}\&\text{nbsp};ứ\text{ng}.\)

Do đó:

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) = P \left(\right. x_{2} \left.\right) .\)

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là nghiệm của \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\), và \(x_{3} , x_{4}\) là nghiệm của \(x^{2} + 2025 x + 2 = 0\).

Ta có:

\(x_{1} + x_{2} = - 2024 , x_{1} x_{2} = 2 ,\) \(x_{3} + x_{4} = - 2025 , x_{3} x_{4} = 2.\)

Xét:

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) .\)

Nhóm:

\(A = \left[\right. \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left]\right. \cdot \left[\right. \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) \left]\right. .\)

Ta có:

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2 ,\) \(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2.\)

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\) nên:

\(x_{1}^{2} = - 2024 x_{1} - 2.\)

Thay vào:

\(x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2 = \left(\right. - 2024 x_{1} - 2 \left.\right) - 2025 x_{1} + 2 = - 4049 x_{1} .\)

Tương tự:

\(x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2 = \left(\right. - 2024 x_{2} - 2 \left.\right) + 2025 x_{2} + 2 = x_{2} .\)

Do đó:

\(A = \left(\right. - 4049 x_{1} \left.\right) \left(\right. x_{2} \left.\right) = - 4049 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right) = - 4049 \cdot 2 = - 8098.\)