Phương trình (1) có \(\Delta^{'} = m^{2} + 1 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\).

Khi đó áp dụng định li Viète ta có

\(x_{1} + x_{2} = 2 m ; x_{1} x_{2} = - 1\).

Theo bài ra ta có: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} - x_{1} x_{2} = 7\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 7\)

\(4 m^{2} + 3 = 7\)

\(4 m^{2} = 4\)

\(m = \pm 1\)

Vậy \(m = \pm 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có \(\Delta_{1} , \Delta_{2} > 0\) suy ra hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có:

\(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = - 2 024 ; x_{1} . x_{2} = 2 \\ & x_{3} + x_{4} = - 2 025 ; x_{3} . x_{4} = 2\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2\).

Lại có \(x_{1}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên:

\(x_{1}^{2} + 2 024 x_{1} + 2 = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 + 4 049 x_{1} = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 = - 4 049 x_{1}\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1}\) (1) 

Tương tự: \(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2\)

Mà \(x_{2}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên

\(x_{2}^{2} + 2 024 x_{2} + 2 = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 - x_{2} = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 = x_{2}\)

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1} . x_{2}\)

hay \(A = - 4 049 x_{1} x_{2} = - 4 049.2 = - 8 098\).

Vậy \(A = - 8 098\).

Ta có: \(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} \geq 0 , \forall m\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) với mọi \(m\) khi \(m \neq 2\).

Áp dụng hệ thức Viète ta có \(x_{1} + x_{2} = - m - 2 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = - 2 m - 4 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\)

Biểu thức liên hệ giữa \(x_{1} , x_{2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m\) là \(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\).

Ta có \(a . c = - 1 < 0\) nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 1\) và \(x_{1} . x_{2} = - 1\)

Ta có:

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) = P \left(\right. x_{2} \left.\right)\)

\(3 x_{1} - \sqrt{33 x_{1} + 25} = 3 x_{2} - \sqrt{33 x_{2} + 25}\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} - \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right) = 0\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \frac{33 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\)

\(1 - \frac{11}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\)

\(\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} = 11\)

\(\left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right)^{2} = 121\)

\(33 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 50 + 2 \sqrt{\left(\right. 33 x_{1} + 25 \left.\right) \left(\right. 33 x_{2} + 25 \left.\right)} = 121\) (*)

Ta có VT(*) \(= 33.1 + 50 + 2 \sqrt{3 3^{2} x_{1} x_{2} + 33.25 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{- 3 3^{2} + 2 533 + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{361} = 83 + 83 = 121 =\) VP.

a) \(\Delta^{'} = m^{2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\).

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(x_{1}^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 m - 2 = 0\) hay \(x_{1}^{2} + 2 m - 2 = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}\).

Suy ra \(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

a) \(\Delta^{'} = m^{2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\).

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(x_{1}^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 m - 2 = 0\) hay \(x_{1}^{2} + 2 m - 2 = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}\).

Suy ra \(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

a) \(x^{2} - m x - 1 = 0\) (1)

Ta có \(a c = - 1 < 0\) suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) trái dấu.

b) Ta có \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_{1}^{2} - m x_{1} - 1 = 0\)

hay \(x_{1}^{2} - 1 = m x_{1}\);

Tương tự ta có \(x_{2}\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_{2}^{2} - m x_{2} - 1 = 0\)

hay \(x_{2}^{2} - 1 = m x_{2}\).

\(A = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

\(= \frac{m x_{1} + x_{1}}{x_{1}} - \frac{m x_{2} + x_{2}}{x_{2}}\)

\(= \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}}{x_{1}} - \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2}}{x_{2}} = 0\).

Vậy \(A = 0\).

a) Ta có: \(\Delta^{'} = m^{2} - \left(\right. m - 2 \left.\right) = m^{2} - m + 2 = \left(\right. m - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + \frac{7}{4} > 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b) Theo định lí Viète, ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m ; x_{1} . x_{2} = m - 2\)

Do \(x_{2}\) là nghiệm của (1) nên \(x_{2}^{2} - 2 m x_{2} + m - 2 = 0\)

\(x_{2}^{2} = 2 m x_{2} - m + 2\)

Do đó \(2 m x_{1} + x_{2}^{2} - 6 x_{1} x_{2} - m + 2\)

\(= 2 m \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 6 x_{1} x_{2} - 2 m + 4\)

\(= 2 m . 2 m - 6 \left(\right. m - 2 \left.\right) - 2 m + 4\)

\(= 4 m^{2} - 8 m + 16 = 4 \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} + 12 \geq 12\).

Suy ra \(M \geq \frac{- 24}{12} = - 2\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m = 1\).

a) Phương trình có nghiệm khi \(\Delta^{'} = 1 - \left(\right. 2 - m \left.\right) = m - 1 \geq 0\)

\(m \geq 1\)

b) Với \(m \geq 1\) ta có \(x_{1} + x_{2} = 2 ; x_{1} . x_{2} = 2 - m\) (định lí Viète).

Khi đó \(A = x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - 4\)

\(= x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 6 x_{1} x_{2} - 4\)

\(= \left(\left(\right. 2 - m \left.\right)\right)^{2} + 3.2^{2} - 6 \left(\right. 2 - m \left.\right) - 4\)

\(= \left(\left(\right. 2 - m \left.\right)\right)^{2} - 6 \left(\right. 2 - m \left.\right) + 9 - 1\)

\(= \left(\left(\right. 2 - m - 3 \left.\right)\right)^{2} - 1 = \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 1\)

Do \(m \geq 1\) nên \(\left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} \geq 2^{2} = 4\) hay \(A \geq 4 - 1 = 3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(m = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) bằng \(3\) đạt được khi \(m = 1\).

a) Xét \(a . c = - m^{2} + m - 2 = - \left(\right. m - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} - \frac{3}{4} < 0 ,\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi \(m\).

b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \(x_{1} , x_{2}\).

Theo câu a) thì \(x_{1} x_{2} \neq 0\), do đó \(A\) được xác định với mọi \(x_{1} , x_{2}\).

Do \(x_{1} , x_{2}\) trái dấu nên \(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)^{3} = - t\) với \(t > 0\), suy ra \(\left(\right. \frac{x_{2}}{x_{1}} \left.\right)^{3} < 0\), suy ra \(A < 0\)

Đặt \(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)^{3} = - t\), với \(t > 0\), suy ra \(\left(\right. \frac{x_{2}}{x_{1}} \left.\right)^{3} = - \frac{1}{t}\).

Khi đó \(A = - t - \frac{1}{t}\) mang giá trị âm và \(A\) đạt giá trị lớn nhất khi \(- A\) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(- A = t + \frac{1}{t} \geq 2\), suy ra \(A \leq - 2\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{t}\)

\(t^{2} = 1\)

\(t = \pm 1\)

Vì \(t > 0\) nên \(t = 1\)

Với \(t = 1\), ta có \(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)^{3} = - 1\)

\(\frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1\)

\(x_{1} = - x_{2}\)

\(x_{1} + x_{2} = 0\)

\(- \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\)

\(m = 1\).

Vậy với \(m = 1\) thì biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(- 2\).