Xét biệt thức:

\(\Delta = \left[\right. - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. 2 m - 2 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 8 m + 8\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 - 2 m + 2 \left.\right) = 4 \left(\right. m^{2} + 3 \left.\right)\)

Vì \(m^{2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên:

\(\Delta>0\)

suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính biểu thức

\(B = x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\)

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của (1), nên:

\(x_{1}^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 m - 2 = 0\) \(\Rightarrow x_{1}^{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right)\)

Thay vào \(B\):

\(B = \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) \left]\right. + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\)

Rút gọn:

\(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - 2 m + 2 + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\) \(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\)

Do đó:

\(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \cdot 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

• Tích hai nghiệm: \(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 1}{1} = - 1\)

Vì:

\(x_{1} x_{2} = - 1 < 0\)

suy ra hai nghiệm trái dấu (một dương, một âm).

b) Tính giá trị biểu thức

\(A = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

Biến đổi từng phân thức:

\(\frac{x^{2} + x - 1}{x} = x + 1 - \frac{1}{x}\)

⇒

\(A = \left(\right. x_{1} + 1 - \frac{1}{x_{1}} \left.\right) - \left(\right. x_{2} + 1 - \frac{1}{x_{2}} \left.\right)\)

Rút gọn:

\(A = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) + \left(\right. - \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} \left.\right)\) \(A = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) + \left(\right. \frac{x_{1} - x_{2}}{x_{1} x_{2}} \left.\right)\) \(A = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{x_{1} x_{2}} \left.\right)\)

Ta có:

• \(x_{1} x_{2} = - 1\)

⇒

\(1 + \frac{1}{x_{1} x_{2}} = 1 + \frac{1}{- 1} = 0\)