) Với \(m = 1\):

\(x^{2} - 6 x + 5 = 0 \Rightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 5 \left.\right) = 0\) \(\boxed{x = 1 , \textrm{ }\textrm{ } x = 5}\)

b) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 6 , x_{1} x_{2} = m + 4\)

Điều kiện:

\(2020 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2021 x_{1} x_{2} = 2014\)

Thay vào:

\(2020 \cdot 6 - 2021 \left(\right. m + 4 \left.\right) = 2014\) \(12120 - 2021 m - 8084 = 2014\) \(4036 - 2021 m = 2014\) \(2022 = 2021 m \Rightarrow m = \frac{2022}{2021}\)

a) Với \(m = 1\):

\(x^{2} - 2 \left(\right. 1 + 1 \left.\right) x + 1^{2} + 2 = 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Rightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right) = 0\) \(\boxed{x = 1 , \textrm{ }\textrm{ } x = 3}\)

b) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2} + 2\)

Điều kiện:

\(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

Vì \(x_{1}\) là nghiệm nên:

\(x_{1}^{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right)\)

Thay vào:

\(2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\) \(2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\)

Thay tổng:

\(2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \cdot 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\) \(4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\) \(4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - m^{2} - 2 = 12 m + 2\) \(4 m^{2} + 8 m + 4 - m^{2} - 2 = 12 m + 2\) \(3 m^{2} + 8 m + 2 = 12 m + 2\) \(3 m^{2} - 4 m = 0 \Rightarrow m \left(\right. 3 m - 4 \left.\right) = 0\) \(\Rightarrow m = 0 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; m = \frac{4}{3}\)

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta = \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 8 m - 4 > 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2}\)

⇒ Loại \(m = 0\), nhận \(m = \frac{4}{3}\)

) Với \(m = 1\):

\(x^{2} - 2 \left(\right. 1 + 1 \left.\right) x + 1^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 1 = 0\) \(\Delta = 16 - 4 = 12 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\) \(\boxed{x = 2 \pm \sqrt{3}}\)

b) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2}\)

Điều kiện:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\)

Ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

⇒

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\) \(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} + 6 = 6 x_{1} x_{2}\)

Thay vào:

\(\left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} + 6 = 6 m^{2}\) \(4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} + 6 = 6 m^{2}\) \(4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) + 6 = 6 m^{2}\) \(4 m^{2} + 8 m + 4 + 6 = 6 m^{2}\) \(4 m^{2} + 8 m + 10 = 6 m^{2}\) \(2 m^{2} - 8 m - 10 = 0\) \(m^{2} - 4 m - 5 = 0 \Rightarrow \left(\right. m - 5 \left.\right) \left(\right. m + 1 \left.\right) = 0\)

) Với \(m = - 3\):

\(x^{2} - \left(\right. - 3 + 2 \left.\right) x + \left(\right. - 3 + 1 \left.\right) = 0 \Rightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Rightarrow \left(\right. x + 2 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = 0 \Rightarrow \boxed{x = - 2 , \textrm{ }\textrm{ } x = 1}\)

b)

\(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 1 \left.\right) = m^{2} \geq 0 \&\text{nbsp}; \forall m\)

⇒ Phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).

c) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = m + 2 , x_{1} x_{2} = m + 1\)

Điều kiện hình học:

\(\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} , h = \frac{2}{\sqrt{5}} \Rightarrow \frac{1}{h^{2}} = \frac{5}{4}\)

Ta có:

\(\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{\left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2}}\)

Mà:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) = m^{2} + 2 m + 2\)

⇒

\(\frac{m^{2} + 2 m + 2}{\left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{5}{4}\)

Giải:

\(4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 5 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\) \(4 m^{2} + 8 m + 8 = 5 m^{2} + 10 m + 5\) \(m^{2} + 2 m - 3 = 0 \Rightarrow \left(\right. m + 3 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\) \(\Rightarrow m=-3m=1\)

Xét điều kiện \(x_{1} , x_{2} > 0\) (độ dài):

• \(m = - 3\): có nghiệm âm ⇒ loại
• \(m = 1\): thỏa

) Với \(m = 2\):

\(x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Rightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0 \Rightarrow \boxed{x = 1 , \textrm{ }\textrm{ } x = 2}\)

b) Phương trình có nghiệm khi:

\(\Delta = 9 - 4 m \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{9}{4}\) \(\boxed{m \leq \frac{9}{4}}\)

c) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 3 , x_{1} x_{2} = m\)

Biến đổi:

\(x_{1}^{3} x_{2} + x_{1} x_{2}^{3} - 2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} = x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left.\right) = x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2}\)

Mà:

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 9 - 4 m\)

⇒ Điều kiện:

\(m \left(\right. 9 - 4 m \left.\right) = 5 \Rightarrow 4 m^{2} - 9 m + 5 = 0 \Rightarrow m = 1 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; m = \frac{5}{4}\)

Hai giá trị này đều thỏa \(m \leq \frac{9}{4}\). suy ra m= 1 hoac m=5/4

\(\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m , x_{1} x_{2} = 2 m - 2\)

Điều kiện:

\(x_{1} + 3 x_{2} = 6\)

Ta có:

\(x_{1} = 2 m - x_{2}\)

Thay vào:

\(2 m - x_{2} + 3 x_{2} = 6 \Rightarrow 2 m + 2 x_{2} = 6 \Rightarrow x_{2} = 3 - m\)

Suy ra:

\(x_{1} = 2 m - \left(\right. 3 - m \left.\right) = 3 m - 3\)

Dùng tích:

\(x_{1} x_{2} = \left(\right. 3 m - 3 \left.\right) \left(\right. 3 - m \left.\right) = 2 m - 2\)

Khai triển:

\(\left(\right. 3 m - 3 \left.\right) \left(\right. 3 - m \left.\right) = - 3 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right)\) \(- 3 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right) = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right)\) \(\left(\right. m - 1 \left.\right) \left[\right. - 3 \left(\right. m - 3 \left.\right) - 2 \left]\right. = 0\) \(\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. - 3 m + 7 \left.\right) = 0\) suy ra m= 1 hoac m=7/3\(\)

có theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m , x_{1} x_{2} = - 1\)

Điều kiện:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7\)

Biến đổi:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\) \(\Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2}\)

Thay vào:

\(\left(\right. 2 m \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) = 7\) \(4 m^{2} + 3 = 7 \Rightarrow 4 m^{2} = 4 \Rightarrow m^{2} = 1\) suy ra m khac 1\(\)

a) Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt

\(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 m = m^{2} + 4 m + 4 - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

Để có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta > 0 \Leftrightarrow \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq 2\)

👉 Kết luận: \(m \neq 2\)

b) Tìm hệ thức không phụ thuộc \(m\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = - \left(\right. m + 2 \left.\right) , x_{1} x_{2} = 2 m\)

Ta khử \(m\):

Từ:

\(x_{1} + x_{2} = - \left(\right. m + 2 \left.\right) \Rightarrow m = - \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2\)

Thay vào tích:

\(x_{1} x_{2} = 2 m = 2 \left[\right. - \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 \left]\right.\) \(x_{1} x_{2} = - 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 4\)

Chuyển vế:

\(x_{1} x_{2} + 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 4 = 0\)

Muốn \(P \left(\right. x_{1} \left.\right) = P \left(\right. x_{2} \left.\right)\), cần:

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) - P \left(\right. x_{2} \left.\right) = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \cdot 0\)

tức là phần còn lại phải bằng 0.

• Với phương trình \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\):
  \(x_{1} + x_{2} = - 2024 , x_{1} x_{2} = 2\)
• Với phương trình \(x^{2} + 2025 x + 2 = 0\):
  \(x_{3} + x_{4} = - 2025 , x_{3} x_{4} = 2\)

Biến đổi biểu thức

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right)\)

Nhóm lại:

\(A = \left[\right. \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left]\right. \cdot \left[\right. \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) \left]\right.\)

Xử lý từng nhóm

Nhóm 1:

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4}\) \(= x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. - 2025 \left.\right) + 2 = x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2\)

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\), nên:

\(x_{1}^{2} = - 2024 x_{1} - 2\)

Thay vào:

\(= \left(\right. - 2024 x_{1} - 2 \left.\right) - 2025 x_{1} + 2 = - 4049 x_{1}\)

Nhóm 2:

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4}\) \(= x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. - 2025 \left.\right) + 2 = x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2\)

Vì \(x_{2}\) là nghiệm:

\(x_{2}^{2} = - 2024 x_{2} - 2\)

Thay vào:

\(= \left(\right. - 2024 x_{2} - 2 \left.\right) + 2025 x_{2} + 2 = x_{2}\)

Kết hợp:

\(A = \left(\right. - 4049 x_{1} \left.\right) \cdot x_{2} = - 4049 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)\)

Mà \(x_{1} x_{2} = 2\), nên:

\(A = - 4049 \cdot 2 = - 8098\)